Jet (matematika)

Jet (nebo jet , z anglického jet ) je struktura jednoznačně určená parciálními derivacemi funkce (nebo sekce) v bodě do určitého řádu. Například k -jet funkce na nule je jednoznačně popsán následující posloupností -tého čísla: $F$ $(k+1)$

f(0),f'(0),\tečky ,f^{(k)}(0).

Výtrysky a zárodky poskytují invariantní jazyk pro teorii diferenciálních rovnic na hladkých varietách .

Definice

Analytická definice

K -jet hladkého svazkuna manifoldu v bodě je sbírka hladkých úseků, které mají stejné Taylorovy polynomy k -tého stupně v boděv nějakém (a tedy v jakémkoli) grafu. $E$ $M$ $X$ $X$ $X$

Jetový prostor v bodě $k$ $X$ je označen jako . ${\displaystyle J_{x}^{k))$

Algebro-geometrická definice

Tato definice je založena na myšlenkách algebraické geometrie a komutativní algebry . Nechť je vektorový prostor zárodků hladkých zobrazení v bodě . Nechť je ideál zobrazení mizejících v bodě (to je maximální ideál lokálního prstence ) a nechť je ideál sestávající ze zárodků všech zobrazení mizejících v bodě do th řádu. Prostor jetů v bodě definujeme jako $C^{\infty }(\mathbb{R} _{p}^{n},\;\mathbb{R} ^{m})$ $f\colon \mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R} ^{m}$ $p\in \mathbb{R} ^{n}$ ${\mathfrak {m}}_{p}$ $p$ $C^{\infty }(\mathbb{R} _{p}^{n},\;\mathbb{R} ^{m})$ ${\mathfrak {m}}_{p}^{{k+1}}$ $p$ $k$ $p$

J_{p}^{k}(\mathbb{R} ^{n},\;\mathbb{R} ^{m})=C^{\infty }(\mathbb{R} _{p}^{ n},\;\mathbb{R} ^{m})/{\mathfrak {m}}_{p}^{{k+1}}.

Pokud je hladké mapování, pak můžeme definovat -jet v bodě jako prvek, pro který $f\colon \mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R} ^{m}$ $k$ $F$ $p$ $J_{p}^{k}(\mathbb{R} ^{n},\;\mathbb{R} ^{m})$

J_{p}^{k}f=f\,({\bmod \,}{\mathfrak {m}}_{p}^{{k+1}}).

Taylorův teorém

Bez ohledu na definici zakládá Taylorova věta kanonický izomorfismus mezi vektorovými prostory a , takže jety funkcí v euklidovském prostoru jsou často identifikovány s odpovídajícími Taylorovými polynomy. $J_{p}^{k}(\mathbb{R} ^{n},\;\mathbb{R} ^{m})$ $\mathbb{R} ^{m}[z]/(z^{{k+1}})$

Prostor trysek z bodu do bodu

Definovali jsme jetový prostor v bodě . Podprostor obsahující ty mapovací jety , pro které je označen , $J_{p}^{k}(\mathbb{R} ^{n},\;\mathbb{R} ^{m})$ $p\in \mathbb{R} ^{n}$ $F$ $f(p)=q$

J_{p}^{k}(\mathbb{R} ^{n},\;\mathbb{R} ^{m})_{q}=\{J^{k}f\in J_{p} ^{k}(\mathbb{R} ^{n},\;\mathbb{R} ^{m})\mid f(p)=q\}.

Trysky úseků hladkého svazku

Ať je to hladký svazek . Jet t. řádu jeho sekcí je třídou ekvivalence těchto sekcí, které jsou identifikovány, pokud se jejich hodnoty a hodnoty jejich parciálních derivací až do tého řádu v určitém bodě shodují. Výtrysky th řádu tvoří hladké potrubí nazývané proudové potrubí . $Y\do X$ $k$ $j_{x}^{k}s$ $s$ $k$ $X$ $k$ $J^{k}Y$

Teorie spojení , teorie diferenciálních operátorů a Lagrangova teorie na hladkých svazcích (včetně klasické teorie pole ) jsou formulovány v podmínkách tryskových variet . $J^{k}Y$

Literatura

Bocharov A. V., Verbovetsky A. M., Vinogradov A. M., Duzhin S. M., Dyer I. S., Samokhin A. V., Torkhov Yu. N., Khorkova N. G., Chetverikov V. N. , editovali Vinogradov A. M. a Krasilshchikova rovnice pro fyziku a M. S. Faktorial, 2005 - 380 s. ISBN 5-88688-074-7
Vinogradov A. M., Krasilshchik I. S., Lychagin V. V. Úvod do geometrie nelineárních diferenciálních rovnic . — M .: Nauka, 1986. — 336 s.
Mishachev N.M., Eliashberg Ya.M. Úvod do h -principu . - M .: Moskevské centrum pro kontinuální matematické vzdělávání, 2004. - ISBN 5-94057-126-3 .
Saunders D. Geometrie proudových svazků. Cambridge: Cambridge Univ. Press., 1989.
Sardanashvili G. A. Moderní metody teorie pole. 1. Geometrie a klasická pole. - M. : URSS, 1996. - 224 s. — ISBN 5-88417-087-4 .
Sardanashvily, G. , Svazky vláken, jet manifolds a Lagrangeova teorie. Přednášky pro teoretiky, arXiv: 0908.1886
Pavlova N.G., Remizov A.O. Úvod do teorie singularity . - M. : MIPT, 2022. - 181 s. - ISBN 978-5-7417-0794-4 .