Tělo konstantní šířky

Těleso konstantní šířky je konvexní těleso , jehož ortogonální průmět na libovolnou přímku je segmentem konstantní délky. Délka tohoto segmentu se nazývá šířka daného tělesa. Nejjednodušším příkladem tělesa konstantní šířky je míč . Ale kromě koule existuje nekonečně mnoho dalších (ne nutně hladkých ) těles konstantní šířky - například těleso, jehož povrch se získá rotací Reuleauxova trojúhelníku kolem jedné z jeho os symetrie.

Vlastnosti

• Třída těles konstantní šířky se shoduje s třídou konvexních těles s konstantním pokrytím , pro která mají hranice ortogonálních průmětů do všech možných rovin stejnou délku.

Otevřené problémy

• Není známo, které těleso konstantní šířky má nejmenší objem ( Bonnesen-Fenchelova hypotéza ). [1] [2] [3]
• O asymptotice nejmenšího objemu těles šířky 1 s rozměry tíhnoucími k nekonečnu není známo téměř nic. [čtyři]

Variace a zobecnění

• Těleso se nazývá rotor mnohostěnu K, pokud se může volně otáčet v K a dotýkat se všech jeho ploch korozměru 1. Například jakékoli těleso konstantní šířky je rotorem krychle.
  • Je popsán každý mnohostěn, který má rotor.
  • Pravidelné mnohostěny mají netriviální rotory, to znamená, že se liší od koule. [5] [6]

Poznámka

Na rozdíl od všeobecného přesvědčení, čtyřstěn Reuleaux není těleso konstantní šířky.

Viz také

• Křivka konstantní šířky

Literatura

• Blaschke V. Krug i shar / Per. s ním. V. A. Zalgaller a S. I. Zalgaller. — M .: Nauka , 1967. — 232 s. - 140 000 výtisků.

Poznámky

1. ↑ Bonnesen T., Fenchel W. Theorie der konvexen Körper. - Berlin : Verlag von Julius Springer, 1934. - S. 127-139. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 3, Heft 1).  (Němec)
2. ↑ Kawohl B. Konvexní sady konstantní šířky  //  Oberwolfach Reports. - Curych : European Mathematical Society Publishing House, 2009. - Vol. 6, č. 1 . - S. 390-393. Archivováno z originálu 2. června 2013.
3. ↑ Anciaux H., Guilfoyle B. O trojrozměrném Blaschke-Lebesgueově problému  //  Proceedings of the American Mathematical Society. - Providence : American Mathematical Society , 2011. - Sv. 139, č.p. 5 . - S. 1831-1839. — ISSN 0002-9939 . - doi : 10.1090/S0002-9939-2010-10588-9 . arXiv : 0906.3217
4. ↑ Gil Kalai, Objemy sad konstantní šířky ve vysokých dimenzích .
5. ↑ Rolf Schneider, Použití sférických harmonických v konvexní geometrii Archivováno 27. března 2016 na Wayback Machine (letní škola „Fourierových analytických a pravděpodobnostních metod v geometrické funkční analýze a konvexitě“, Kent State University, 13.–20. srpna 2008)
6. ↑ Michael Goldberg, "Rotors in Polygons and Polyhedra," Mathematics of Computation, sv. 14, č. 71 (červenec 1960), str. 229-239.