Brunova věta

Brunův teorém říká, že součet převrácených hodnot dvojčat (dvojic prvočísel , které se liší pouze o 2) konverguje ke konečné hodnotě známé jako Brunova konstanta , která je označena B 2 (sekvence A065421 v OEIS ). Brunův teorém byl prokázán Viggo Brunem v roce 1919 a má historický význam pro sítové metody .

Asymptotické hranice pro čísla dvojčat

Konvergence součtu reciprokých k číslům dvojčat vyplývá z ohraničenosti hustoty posloupnosti čísel dvojčat. Označme počet prvočísel, pro která je p + 2 také prvočíslo (tj . je počet dvojčat nepřesahující x ). Pak pro máme $\pi _{2}(x)$ $p\leqslant x$ $\pi _{2}(x)$ $x\geqslant 3$

\pi _{2}(x)=O\left({\frac {x(\log \log x)^{2}}{(\log x)^{2}}}\vpravo).

To znamená, že čísla dvojčat jsou vzácnější než prvočísla téměř o logaritmický faktor. Z tohoto omezení vyplývá, že součet převrácených hodnot dvojčat konverguje, nebo, jinými slovy, dvojčata tvoří malou množinu . Explicitní částka

\sum \limits _{p\,:\,p+2\in \mathbb {P} }{\left(({\frac {1}{p))+{\frac {1}{p +2}}}\right)}=\left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1} {5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+ \cdots

buď má konečný počet členů, nebo má nekonečný počet členů, ale konverguje k hodnotě známé jako Brunova konstanta.

Skutečnost, že se součet převrácených čísel prvočísel rozchází, znamená, že prvočísel je nekonečně mnoho. Vzhledem k tomu, že součet reciprokých čísel dvojčat konverguje, nelze z tohoto výsledku usoudit, že existuje nekonečně mnoho čísel dvojčat. Brunova konstanta je iracionální pouze v případě nekonečného počtu dvojčat.

Číselné skóre

Thomas R. Nicely heuristicky odhadl Brunovu konstantu na přibližně 1,902160578 [1] při počítání čísel dvojčat do 10 14 (a nalezení chyby Pentium FDIV na cestě ) . Pěkně do 18. ledna 2010 rozšířil výpočet na 1,6⋅10 15 , ale nebyl to největší výpočet tohoto typu.

V roce 2002 Pascal Seba a Patrick Demichel použili všechna čísla dvojčat do 10 16 a získali odhad [2]

B2 ≈ 1,902160583104 .

Odhad je založen na odhadu součtu 1,830484424658... pro čísla dvojčat menší než 10 16 . Dominic Clive ukázal (v nepublikovaném abstraktu), že B 2 < 2,1754 za předpokladu, že rozšířená Riemannova hypotéza [3] je pravdivá .

Pro čtyřčata dvojčat existuje také Brunova konstanta . Prvočíslo je pár dvou prvočíselných dvojčat oddělených vzdáleností 4 (nejmenší možná vzdálenost). Několik čtyřčat - (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). Brunova konstanta pro čtveřice, označovaná B 4 , je součtem reciprokých hodnot všech čtveřic:

B_{4}=\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13} }\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19} }\right)+\left({\frac {1}{101}}+{\frac {1}{103}}+{\frac {1}{107}}+{\frac {1}{109} }\vpravo)+\cdots

A tato částka je

B 4 \u003d 0,87058 83800 ± 0,00000 00005, chyba má úroveň spolehlivosti 99 % (podle Nicely) [4] .

Tato konstanta by se neměla zaměňovat s Brunovou konstantou pro příbuzná prvočísla , dvojice prvočísel tvaru ( p , p + 4 ), protože tato konstanta se také zapisuje jako B 4 .

Další výsledky

Nechť (sekvence A005597 v OEIS ) je konstanta dvojčíselných prvočísel . Existuje hypotéza, že $C_{2}=0,6601\ldots$

\pi _{2}(x)\sim 2C_{2}{\frac {x}{(\log x)^{2}}}.

Zejména,

{\displaystyle \pi _{2}(x)<(2C_{2}+\varepsilon ){\frac {x}{(\log x)^{2))))

pro všechny dostatečně velké x . $\varepsilon >0$

Mnohé z výše zmíněných speciálních případů byly prokázány. Nedávno Jie Wu dokázal, že pro dostatečně velké x ,

{\displaystyle \pi _{2}(x)<4,5{\frac {x}{(\log x)^{2))))

kde 4.5 odpovídá případu výše. $\varepsilon \cca 3.18$

V populární kultuře

Brunova konstantní čísla byla použita při nabídce 1 902 160 540 USD na patentové aukci Nortel . Aplikace byla publikována společností Google a byla jednou ze tří aplikací Google založených na matematických konstantách [5] .

Viz také

Poznámky

↑ Dobře, Thomas R. Výčet na 1,6*10^15 prvočísel dvojčat a Brunova konstanta (odkaz není k dispozici) . Některé výsledky výpočetního výzkumu prvočísel (Teorie výpočetních čísel) (18. ledna 2010). Získáno 16. února 2010. Archivováno z originálu 8. prosince 2013. (neurčitý)
↑ Sebah, Pascal; Gourdon, Xavier Úvod do dvojitých prvočísel a Brunova konstantního výpočtu . Staženo 5. 1. 2018. Archivováno z originálu 6. 1. 2018. (neurčitý)
↑ Klyve, Dominic Explicitní hranice pro dvojčata a Brun's Constant . Staženo 13. 5. 2015. Archivováno z originálu 18. 5. 2015. (neurčitý)
↑ Pěkně, Thomas R. Výčet 1,6⋅10 15 prvočíselných čtveřic (odkaz není k dispozici) . Některé výsledky výpočetního výzkumu prvočísel (Teorie výpočetních čísel) (26. srpna 2008). Získáno 9. března 2009. Archivováno z originálu dne 30. prosince 2008. (neurčitý)
↑ Damouni, Nadia. Dealtalk: Google nabídl „pí“ za patenty Nortel a prohrál (nedostupný odkaz) . Reuters (1. července 2011). Získáno 6. července 2011. Archivováno z originálu dne 3. července 2011. (neurčitý)

Literatura

Viggo Brown . Über das Goldbachsche Gesetz und die Anzahl der Primzahlpaare // Archiv pro Mathematik og Naturvidenskab. - 1915. - T. B34 , čís. 8 .
Viggo Brown . La série 1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+1/19+1/29+1/31+1/41+1/43+1/59+1/61+ ..., où les dénominateurs sont nombres premiers jumeaux est convergente ou finie (Fr) // Bulletin des Sciences Mathématiques. - 1919. - T. 43 . — S. 100–104, 124–128 .
Alina Carmen Cojocaru, M. Ram Murty. Úvod do sítových metod a jejich aplikací. - Cambridge University Press , 2005. - V. 66. - S. 73-74. — (London Mathematical Society Student Texts). — ISBN 0-521-61275-6 .
Elementare Zahlentheorie. - Lipsko, Německo: Hirzel, 1927. Přetištěno v Providence, RI: Amer. Matematika. Soc., 1990.
William J. LeVeque. Základy teorie čísel . - New York City: Dover Publishing, 1996. - S. 1-288 . - ISBN 0-486-68906-9 . Obsahuje modernější důkaz.
Dvojité síto Wu J. Chena, Goldbachova domněnka a hlavní problém dvojčat // Acta Arithmetica. - 2004. - T. 114 , no. 3 . — S. 215–273 . - doi : 10.4064/aa114-3-2 . - arXiv : 0705.1652 .
V. I. Zenkin. Rozdělení prvočísel. Elementární metody. Kaliningrad, 2008.

Odkazy

Weisstein, Eric W. Brun's Constant (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Brun's Theorem (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Brunova konstanta (anglicky) na webu PlanetMath .
Sebah, Pascal a Xavier Gourdon, Úvod do dvojčíselných prvočísel a Brunových konstantních počítání , 2002. Moderní podrobné zkoumání.
Wolfův článek o sumách typu Brun