Kolmogorovova věta o dvou řadách

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 25. srpna 2017; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Kolmogorovova věta o dvou řadách v teorii pravděpodobnosti stanoví dostatečnou podmínku pro konvergenci s pravděpodobností jedné z řady nezávislých náhodných veličin . Kolmogorovův teorém o dvou sériích může být použit k prokázání silného zákona velkých čísel .

Aby řada nezávislých náhodných proměnných konvergovala s pravděpodobností jedna , stačí, aby dvě řady konvergovaly současně: a . Pokud navíc , pak je tato podmínka také nezbytná. ${\displaystyle \sum \xi _{n))$ ${\displaystyle \sum M\xi _{n))$ ${\displaystyle \sum D\xi _{n))$ $\sum P(|\xi _{n}|\leqslant c)=1,n\geqslant 1$

Důkaz

Jestliže , pak konverguje podle Kolmogorov-Khinchinovy věty o konvergenci . Ale podle předpokladu řada konverguje, takže řada také konverguje . $\sum D\xi _{n}<\infty$ $\sum (\xi _{n}-M\xi _{n})$ ${\displaystyle M\xi _{n))$ ${\displaystyle \sum \xi _{n))$

K prokázání nutnosti používáme následující metodu "symetrizace". Spolu s posloupností uvažujme posloupnost náhodných proměnných nezávislých na ní tak, aby měla stejné rozdělení jako . $\xi _{1},\xi _{2}...$ $\xi _{1}^{'},\xi _{2}^{'}...$ $\xi _{n}^{'}$ $\xi _{n},n\geqslant 1$

Pak, pokud řada konverguje , pak řada konverguje , a tedy řada . Ale také . Proto podle Kolmogorov-Khinchinovy věty o konvergenci . ${\displaystyle \sum \xi _{n))$ $\sum \xi _{n}^{'}$ $\sum (\xi _{n}-\xi _{n}^{'})$ $M(\xi _{n}-\xi _{n}^{'})=0$ $P(|\xi _{n}-\xi _{n}^{'}|\leqslant 2c)=1$ $\sum D(\xi _{n}-\xi _{n}^{'})<\infty$

Další . Proto podle Kolmogorov-Khinchinovy věty o konvergenci řada konverguje s pravděpodobností jedna , a proto řada také konverguje . $\sum D\xi _{n}={\frac {1}{2}}\sum D(\xi _{n}-\xi _{n}^{'})<\infty$ $\sum (\xi _{n}-M\xi _{n})$ ${\displaystyle \sum M\xi _{n))$

Takže z konvergence řady (za předpokladu vyplývá, že řada i konvergují. ${\displaystyle \sum \xi _{n))$ $P(|\xi _{n}|\leqslant c)=1,n\geqslant 1)$ ${\displaystyle \sum M\xi _{n))$ ${\displaystyle \sum D\xi _{n))$

Literatura

Shiryaev A. N. Pravděpodobnost. - 3. vyd., revidováno. a další .. - M . : MTSNMO , 2004. (Kapitola 4 § 2 odst. 1)