Kolmogorov-Khinchinův teorém konvergence

Kolmogorov - Khinchinův konvergenční teorém v teorii pravděpodobnosti definuje konvergenční kritérium s pravděpodobností jedna pro nekonečnou řadu náhodných proměnných a může být použit k prokázání Kolmogorovovy věty o dvou sériích.

Prohlášení věty

Budeme předpokládat, že posloupnost nezávislých náhodných veličin je množinou těch elementárních výsledků , kde řada konverguje ke konečné limitě. $\xi _{1},\xi _{2}...$ ${\displaystyle S_{n}=\xi _{1}+\xi _{2}+...+\xi _{n))$ $A$ $\omega$ $\sum \xi _{n}(\omega )$

První část

Nechte _ Pak, jestliže , pak řada konverguje s pravděpodobností jedna. $M\xi _{n}=0,n\geqslant 1$ $\sum M\xi _{n}^{2}<\infty$ ${\displaystyle \sum \xi _{n))$

Druhá část

Pokud jsou navíc náhodné veličiny rovnoměrně ohraničené: , pak to platí i obráceně: první část řady vyplývá z konvergence s pravděpodobností jedna. $\xi _{n},n\geqslant 1$ $P(|\xi _{n}|\leqslant c)=1,c<\infty$ ${\displaystyle \sum \xi _{n))$

Důkaz

Část první

Posloupnost , konverguje s pravděpodobností jedna právě tehdy, když je tato posloupnost základní s pravděpodobností jedna [1] , tzn. $(S_{n}),n\geqslant 1$

P\{\sup _{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}\rightarrow 0,n\rightarrow \infty

(jeden)

Kvůli Kolmogorovově nerovnosti :

P\{\sup _{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}=\lim _{n\rightarrow \infty }P\{\max _{1\leqslant k\leqslant N}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}\leqslant \lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {\sum _{k =n}^{n+N}M\xi _{k}^{2}}{\varepsilon ^{2}}}={\frac {\sum _{k=n}^{\infty }M\ xi _{k}^{2}}{\varepsilon ^{2}}}

Pokud je tedy splněna podmínka 1 , řada tedy konverguje s pravděpodobností jedna. $\sum _{k=1}^{\infty }M\xi _{k}^{2}<\infty$ ${\displaystyle \sum \xi _{k))$

Druhá část

Nechte řadu konvergovat. Pak podle podmínky 1 pro dostatečně velké : ${\displaystyle \sum \xi _{k))$ $n$

P\{\sup _{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}<{\frac {1}{2))

(2)

Kvůli Kolmogorovově nerovnosti . ${\displaystyle P\{\sup _{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}\geqslant 1-{\frac {(c+\varepsilon )^{2 )){\sum _{k=n}^{\infty }M\xi _{k}^{2))))$

Pokud tedy předpokládáme, že , pak dostaneme $\sum _{k=1}^{\infty }M\xi _{k}^{2}=\infty$

$P\{\sup _{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}=1$ , což odporuje nerovnosti 2 . ${\displaystyle}$

Poznámky

↑ Shiryaev, 2004 , str. 370.

Literatura

Shiryaev A. N. Pravděpodobnost. - 3. vyd., revidováno. a další .. - M . : MTSNMO , 2004. (Kapitola 4 § 2 odst. 1)