Kolmogorov-Arnoldova věta

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 6. září 2021; kontroly vyžadují 4 úpravy .

Kolmogorov-Arnold teorém, teorém z analýzy reálné proměnné a teorie přiblížení , říká, že každá vícerozměrná spojitá funkce může být reprezentována jako superpozice spojitých funkcí jedné proměnné. Řeší Hilbertův třináctý problém obecnějším způsobem . [1] [2]

Práce Andreje Kolmogorova a Vladimira Arnolda prokázaly, že pokud f je vícerozměrná spojitá funkce, pak f lze zapsat jako konečné složení spojitých funkcí jedné proměnné a operace binárního sčítání . [3] Totiž

f(\mathbf {x} )=f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{q=0}^{2n}\Phi _{q}\left(\ součet _{p=1}^{n}\phi _{q,p}(x_{p})\vpravo).

Konstrukce důkazu, a ještě více betonových konstrukcí, lze nalézt v Brown a Griebel [4] .

Kolmogorov a Arnold v jistém smyslu ukázali, že jedinou skutečnou funkcí mnoha proměnných je sčítání, protože všechny ostatní funkce lze zapsat pomocí funkcí jedné proměnné a sčítání. [5]

Historie

Kolmogorov-Arnoldova věta úzce souvisí s Hilbertovým 13. problémem . David Hilbert ve své pařížské přednášce na Mezinárodním kongresu matematiků v roce 1900 formuloval 23 problémů , o kterých se domníval, že jsou důležité pro další rozvoj matematiky. [6] Ve 13. z těchto úloh byl problém vyřešit obecné rovnice vyšších stupňů. Je známo, že pro algebraické rovnice stupně 4 lze kořeny vypočítat pomocí vzorců, které obsahují pouze radikály a aritmetické operace (to znamená, že takové rovnice jsou řešitelné v radikálech ). Pro vyšší řády Galoisova teorie ukazuje, že řešení algebraických rovnic nelze vyjádřit v podmínkách základních algebraických operací. Z Tschirnhausových transformací vyplývá, že obecná algebraická rovnice

x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{0}=0

lze převést do formuláře Tschirnhausova transformace je definována vzorcem obsahujícím pouze radikály a aritmetické operace a transformace. Řešení algebraické rovnice stupně lze tedy reprezentovat jako superpozici funkcí dvou proměnných, jestliže , a jako superpozici funkcí proměnných, jestliže . Neboť řešení je superpozice aritmetických operací, radikálů a řešení rovnice . $y^{n}+b_{n-4}y^{n-4}+\dots +b_{1}y+1=0$ $n$ $n<7$ $n-4$ $n\geqslant 7$ $n=7$ $y^{7}+b_{3}y^{3}+b_{2}y^{2}+b_{1}y+1=0$

Další zjednodušení algebraických transformací se zdá nemožné, což vede k Hilbertově domněnce, že „řešení obecné rovnice stupně 7 nelze reprezentovat jako superpozici spojitých funkcí dvou proměnných“. To vysvětluje vztah Hilbertova třináctého problému k reprezentaci vícerozměrných funkcí jako superpozice nízkorozměrných funkcí. V této souvislosti podnítil řadu studií v oblasti teorie funkcí a dalších souvisejících problémů od různých autorů. [7]

Varianty Kolmogorov-Arnoldovy věty

Variantu Kolmogorovovy věty, která snižuje počet vnějších funkcí , má na svědomí George Lorentz. [8] V roce 1962 ukázal, že vnější funkce mohou být nahrazeny jedinou funkcí . Přesněji řečeno, Lorentz dokázal existenci funkcí , , takových, že ${\displaystyle \Phi _{q))$ ${\displaystyle \Phi _{q))$ $\Phi$ ${\displaystyle \phi _{q,p))$ $q=0,1,\ldots ,2n$ $p=1,\ldots ,n,$

f(\mathbf {x} )=\sum _{q=0}^{2n}\Phi \left(\sum _{p=1}^{n}\phi _{q,p}( x_{p})\vpravo).

Sprecher [9] nahradil vnitřní funkce jednou vnitřní funkcí s odpovídajícím posunem v jejich argumentech. Dokázal, že existují reálné hodnoty , spojitá funkce a skutečná rostoucí spojitá funkce c pro takové, že ${\displaystyle \phi _{q,p))$ ${\displaystyle \eta ,\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n))$ $\Phi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $\phi \colon [0,2]\to \mathbb {R}$ ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Lip} {\big (}\ln 2/\ln(2N+2){\big )))$ $N\geqslant n\geqslant 2$

f(\mathbf {x} )=\sum _{q=0}^{2n}\Phi \left(\sum _{p=1}^{n}\lambda _{p}\phi ( x_{p}+\eta q)+q\vpravo).

Phillip A. Ostrand [10] zobecnil Kolmogorovovu větu na kompaktní metrické prostory. Pro nechť jsou kompaktní metrické prostory konečné dimenze a nechť . Pak existuje spojitá funkce a spojité funkce , takže jakákoli spojitá funkce může být reprezentována jako $p=1,\ldots ,m$ $X_{p}$ $n_{p}$ ${\displaystyle n=\sum _{p=1}^{m}n_{p))$ $\phi _{q,p}\dvojtečka X_{p}\to [0,1],\ q=0,\ldots ,2n,\ p=1,\ldots ,m$ $G_{q}\colon [0,1]\to \mathbb {R} ,\ q=0,\ldots ,2n$ $f\colon X_{1}\times \dots \times X_{m}\to \mathbb {R}$

f(x_{1},\ldots ,x_{m})=\sum _{q=0}^{2n}G_{q}\left(\sum _{p=1}^{m} \phi _{q,p}(x_{p})\vpravo).

Původní odkazy

Andrei Kolmogorov , "O reprezentaci spojitých funkcí několika proměnných superpozicemi spojitých funkcí menšího počtu proměnných", Izvestiya AN SSSR , 108 (1956), s. 179-182; Anglický překlad: Amer. Matematika. soc. Překlad 17 (1961), str. 369-373.
Vladimir Arnold , "O funkci tří proměnných", Izvestiya AN SSSR , 114 (1957), str. 679-681; Anglický překlad: Amer. Matematika. soc. Přel. , 28 (1963), str. 51-54.

Další čtení

S. Ya. Khavinson, Nejlepší aproximace lineárními superpozicemi (přibližná nomografie) , AMS Překlady matematických monografií (1997)

Odkazy

↑ Arnold: Swimming Against the Tide . - American Mathematical Society , 2014. - S. 165. - ISBN 978-1-4704-1699-7 . Archivováno 17. března 2022 na Wayback Machine
↑ Shigeo Akashi. Aplikace teorie ϵ-entropie na Kolmogorov — Arnoldův teorém reprezentace // Reports on Mathematical Physics : deník. - 2001. - Sv. 48 . - S. 19-26 . - doi : 10.1016/S0034-4877(01)80060-4 .
↑ Bar-Natan. Dezert: Hilbertův 13. problém, v plné barvě . Získáno 19. května 2019. Archivováno z originálu dne 8. srpna 2020.
↑ Jürgen Braun, Michael Griebel. O konstruktivním důkazu Kolmogorovovy věty o superpozici // Konstruktivní aproximace : deník. - 2009. - Sv. 30 . — S. 653 . - doi : 10.1007/s00365-009-9054-2 . Archivováno z originálu 24. listopadu 2018.
↑ Persi Diaconis, Mehrdad Shahshahani. O lineárních funkcích lineárních kombinací // SIAM J. Sci. stat. Počítat. : deník. - 1984. - Sv. 5 . — S. 180 . - doi : 10.1137/0905013 . Archivováno z originálu 13. května 2012.
↑ David . Matematické problémy (anglicky) // Bulletin of the American Mathematical Society : journal. - 1902. - Sv. 8 . - str. 461-462 .
↑ Jurgen Braun. O Kolmogorovově větě o superpozici a jejích aplikacích. - SVH Verlag, 2010. - 192 s.
↑ Jiří; Lorentz. Metrická entropie, šířky a superpozice funkcí (anglicky) // American Mathematical Monthly : journal. - 1962. - Sv. 69 . - str. 469-485 .
↑ David A. Sprecher. O struktuře spojitých funkcí několika proměnných (anglicky) // Transactions of the American Mathematical Society : journal. - 1965. - Sv. 115 . - S. 340-355 .
↑ Phillip A. Ostrand. Dimenze metrických prostorů a Hilbertův problém 13 (anglicky) // Bulletin of the American Mathematical Society : journal. - 1965. - Sv. 71 . - S. 619-622 .