Mann-Waldova věta

Mann-Waldův teorém nebo teorém spojitého mapování ( CMT ) je pozice v teorii pravděpodobnosti , která říká, že spojité funkce zachovávají limitu, i když jejich argumenty jsou sekvencemi náhodných veličin . Spojitá funkce v Heineově definici mapuje konvergentní posloupnost na jinou konvergentní posloupnost: jestliže x n → x , pak g ( x n ) → g ( x ). Věta říká, že tento výsledek je zachován i tehdy, když je deterministická posloupnost { x n } nahrazena posloupností náhodných proměnných { X n } a koncept konvergence pro reálná čísla je nahrazen jedním z typů konvergence náhodných proměnných . .

Tato věta byla poprvé prokázána Mannem a Waldem v roce 1943 [1] .

Formulace

Nechť { X n }, X jsou náhodné prvky definované na metrickém prostoru S . Nechť funkce g : S → S′ (kde S′ je jiný metrický prostor) je nespojitá v bodech z množiny D g a Pr[ X ∈ D g ] = 0 . Potom [2] [3] [4]

$X_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X\quad \Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {d}}\ g(X);$
$X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ X\quad \Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {p}}\ g(X);$
$X_{n}\ {\xarrowarrow {\!\!as\!\!}}\ X\quad \Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xarrowarrow {\!\!as\! \!}}\ g(X).$

Viz také

Slutského teorém

Poznámky

↑ Amemiya, 1985 , s. 88
↑ Van der Vaart, 1998 , Věta 2.3, strana 7
↑ Billingsley, 1969 , s. 31, důsledek 1
↑ Billingsley, 1999 , s. 21, Věta 2.7

Literatura

Anatoljev, Stanislav. Ekonometrie pro pokročilé. Průběh přednášek . - Moskva, 2002. (Ruština)
Amemiya, Takeshi . Pokročilá ekonometrie (neurčité) . - Cambridge, MA: Harvard University Press , 1985. - ISBN 0-674-00560-0 .
Billingsley, PatrickKonvergence pravděpodobnostních mír (neurčitá) . - John Wiley & Sons , 1969. - ISBN 0-471-07242-7 .
Billingsley, Patrick. Konvergence pravděpodobnostních mír (neurčitá) . — 2. - John Wiley & Sons , 1999. - ISBN 0-471-19745-9 .
Mann, H. B.; Wald, A.O stochastických vztazích limitů a řádů // Annals of Mathematical Statistics : deník. - 1943. - Sv. 14 , č. 3 . - str. 217-226 . - doi : 10.1214/aoms/1177731415 . — .
Van der Vaart, A. W. Asymptotická statistika (neopr.) . - New York: Cambridge University Press , 1998. - ISBN 0-521-49603-9 .