Most tuhosti

Mostovova rigidita říká, že geometrie hyperbolické variety konečného objemu v rozměrech počínaje třemi je zcela určena její základní grupou .

Historie

Pro uzavřené rozdělovače tuto větu dokázal v roce 1968 George Mostov . Zobecněno na variety konečné dimenze Mardenem a Prasadem .  Gromov podal další důkaz - založený na jednoduchém svazku .

Předtím Weyl prokázal úzce související výroky. Zejména skutečnost, že kokompaktní akce diskrétních izometrických grup hyperbolického prostoru dimenze alespoň 3 nepřipouštějí netriviální deformace.

Formulace

Geometrické znění

Nechť M a N jsou úplné hyperbolické n -rozměrné variety konečného objemu s n ≥3. Potom jakýkoli izomorfismus f :  π 1 ( M ) → π 1 ( N ) je indukován izometrií M → N .

Zde π 1 ( M ) označuje základní grupu variety M .

Algebraická formulace

Nechť Γ a Δ jsou diskrétní podgrupy izometrické grupy G n - rozměrného hyperbolického prostoru H s n ≥ 3, jehož faktorové prostory H /Γ a H /Δ mají konečné objemy. Pak izomorfismus Γ a Δ jako diskrétních grup implikuje jejich konjugaci v G .

Aplikace

• Izometrická grupa konečných objemů hyperbolické n - variety M (pro n ≥3) je konečná a izomorfní ke skupině vnějších automorfismů π 1 ( M ).
• Věta o balení kruhu

Odkazy

• Gromov, Michael (1981), Hyperbolické manifoldy (podle Thurstona a Jørgensena) , Bourbaki Seminar, sv. 1979/80 , sv. 842, Lecture Notes in Math., Berlin, New York: Springer-Verlag , s. 40–53, ISBN 978-3-540-10292-2 , doi : 10.1007/BFb0089927 
• Marden, Albert (1974), Geometrie finitely generovaných kleiniánských grup, Annals of Mathematics. Druhá řada , svazek 99: 383–462, ISSN 0003-486X 
• Mostow, GD (1968), Kvazikonformní zobrazení v n - prostoru a rigidita forem hyperbolického prostoru , Publ. Matematika. IHES vol. 34: 53–104 , < http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1968__34__53_0 > 
• Mostow, GD (1973), Silná rigidita místně symetrických prostorů , sv. 78, Annals of mathematics studies, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08136-6 , < https://books.google.com/books?id=xT0SFmrFrWoC > 
• Prasad, Gopal (1973), Silná tuhost mřížek Q-rank 1 , Inventiones Mathematicae T. 21: 255–286, ISSN 0020-9910 , DOI 10.1007/BF01418789 
• Spatzier, RJ (1995), Harmonická analýza v teorii tuhosti, v Petersen, Karl E. & Salama, Ibrahim A., Ergodic Theory and its Connections with Harmonic Analysis, Sborník z Alexandrijské konference z roku 1993 , Cambridge University Press, s. 153–205, ISBN 0-521-45999-0  . (Poskytuje přehled velkého množství teorémů tuhosti, včetně těch, které se týkají Lieových grup, algebraických grup a dynamiky toků. Obsahuje 230 odkazů.)
• Thurston, William (1978–1981), Geometrie a topologie 3-manifoldů , poznámky k přednáškám z Princetonu , < http://www.msri.org/publications/books/gt3m/ >  . (Poskytuje dva důkazy: jeden podobný původnímu Mostowovu důkazu a druhý založený na Gromovově normě )
• Weil, André (1960), O diskrétních podskupinách Lieových grup, Annals of Mathematics. Druhá řada sv. 72: 369–384, ISSN 0003-486X 
• Weil, André (1962), O diskrétních podskupinách Lieových grup. II, Letopisy matematiky. Druhá řada vol. 75: 578–602, ISSN 0003-486X