Erdős-Anningova věta

Erdős-Anningova věta je tvrzení, že nekonečná množina bodů v rovině může mít celočíselné vzdálenosti mezi body množiny pouze tehdy, pokud všechny body leží na jedné přímce. Je pojmenován po Palu Erdősovi a Normanu Herbertu Anningovi , kteří publikovali jeho důkaz v roce 1945 [ 1] .

Racionální vzdálenost

Přestože neexistuje nekonečná množina bodů, které by měly celočíselné vzájemné vzdálenosti, existuje nekonečná množina bodů, které neleží na jedné přímce, jejíž vzdálenosti jsou racionální čísla.

Například na jednotkové kružnici je množina bodů, pro které je racionální číslo. Pro všechny takové body, a , a jsou racionální. Nechte a definujte dva body v , pak je vzdálenost racionální. $S$ $(\cos \theta ,\sin \theta )$ $\tan {\frac {\theta }{4))$ $\sin {\frac {\theta }{2))$ $\cos {\frac {\theta }{2))$ $\theta$ $\phi$ $S$ $\left|2\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\phi }{2}}-2\sin {\frac {\phi }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\right|$

Je známo, že kružnice o poloměru obsahuje hustou množinu bodů s racionálními vzájemnými vzdálenostmi právě tehdy, je-li racionální [2] . $\rho$ $\rho ^{2}$

Pro jakoukoli konečnou množinu bodů se vzájemně racionálními vzdálenostmi lze najít podobnou množinu bodů s celočíselnými vzájemnými vzdálenostmi rozšířením (vynásobením vzdáleností nejmenším společným násobkem jmenovatelů vzdáleností). V rovině tedy existuje libovolně velká množina bodů s celočíselnými vzdálenostmi. Přidání bodů do množiny však může zvýšit faktor roztažení, takže taková konstrukce neumožňuje převést nekonečnou množinu bodů s racionálními vzdálenostmi na nekonečnou množinu bodů s celočíselnými vzdálenostmi. $S$ $S$ $S$

Zůstává neznámé, zda existuje množina bodů s racionálními vzájemnými vzdálenostmi, která je hustou podmnožinou euklidovské roviny [2] .

Důkaz věty

Nechť množina bodů v rovině má celočíselné vzájemné vzdálenosti a obsahuje tři body , a , neležící na jedné přímce, vzájemné vzdálenosti mezi nimiž nepřesahují . Ukažme, že počet bodů v sadě nepřesahuje . $S$ $A$ $B$ $C$ $\delta$ $S$ $4(\delta +1)^{2}$

Nechť , , a jsou vzdálenosti mezi body , a . Nechť je jakýkoli jiný bod od . Z trojúhelníkové nerovnosti vyplývá, že je nezáporné celé číslo nepřesahující . Pro každé celé číslo mezi 0 a , těžiště bodů, které splňuje rovnost, tvoří hyperbolu s a v ohniscích. Bod musí ležet na jedné z těchto hyperbol. $d(A,B)$ $d(A,C)$ $d(B,C)$ $A$ $B$ $C$ $X$ $S$ $|d(A,X)-d(B,X)|$ $\delta$ $i$ $\delta$ $|d(A,X)-d(B,X)|=i$ $A$ $B$ $X$ $\delta +1$

Z důvodů symetrie musí také ležet na jedné z hyperbol, které mají a v ohniscích. Každá z dvojic odlišných hyperbol, jedna definovaná body a a druhá body s , se může protínat maximálně ve čtyřech bodech a každý bod z (včetně , a ) je jedním z průsečíků. Existuje maximum průsečíků dvojic hyperbol, a tedy maximum bodů v množině . $X$ $\delta +1$ $B$ $C$ $A$ $B$ $B$ $C$ $S$ $A$ $B$ $C$ $4(\delta +1)^{2}$ $4(\delta +1)^{2}$ $S$

Množinu bodů v rovině, které neleží na jedné přímce a mají celočíselné vzájemné vzdálenosti, lze tedy doplnit pouze o konečný počet bodů. Množina bodů s celočíselnými souřadnicemi a celočíselnými vzdálenostmi, ke kterým nelze body přidávat při zachování obou vlastností, se nazývá Erdős-Diophantusův graf .

Poznámky

↑ Norman H. Anning, Paul Erdős. Integrální vzdálenosti // Bulletin Americké matematické společnosti . - 1945. - Vydání. 51 , č. 8 . — S. 598–600 . - doi : 10.1090/S0002-9904-1945-08407-9 . Archivováno z originálu 12. srpna 2007.
↑ 1 2 Victor Klee, Stan Wagon. Staré a nové nevyřešené problémy v rovinné geometrii a teorii čísel // Cambridge University Press. - Dolciani matematické expozice, 1991. - Sv. 11 . - S. 132-135 . — ISBN 978-0-88385-315-3 . Archivováno z originálu 24. června 2016.

Odkazy

Weisstein, Eric W. Erdos-Anning Theorem (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .