Věta o česání ježka

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 9. srpna 2020; kontroly vyžadují 4 úpravy .

Věta o česání ježka říká, že na kouli nelze v každém bodě zvolit směr tečny, který je definován ve všech bodech koule a plynule závisí na bodu. Neformálně řečeno je nemožné učesat ježka stočeného tak, aby z něj netrčela jediná jehla – odtud zmínka o ježkovi v názvu věty.

Pomocí věty o česání ježka [1] lze dokázat větu o pevném bodě získanou v roce 1912 Brouwerem [2] .

Formulace

Na kouli není žádné spojité tečné vektorové pole , které by nikde nemizelo [3] .

Poznámky

Jinými slovy, jestliže je spojitá funkce, která definuje vektorovou tečnu ke kouli v každém z jejích bodů, pak existuje alespoň jeden bod takový, že . $F$ $p$ $f(p)=0$

Další verze "ježčí věty" vypadá takto: Nechť je nenulové spojité vektorové pole na kouli. Pak existuje bod, ve kterém je pole kolmé na kouli. ${\mathbf {f))$

Důsledky a aplikace

Jakákoli souvislá mapa koule na sebe má buď pevný bod, nebo mapuje nějaký bod na svůj diametrálně opačný bod. To bude jasné, převedeme-li zobrazení na spojité vektorové pole následujícím způsobem. Nechť je mapování koule na sebe a je požadované vektorové pole. Pro libovolný bod zkonstruujeme stereografickou projekci bodu na tečnou rovinu v bodě . Potom je vektor posunutí projekce vzhledem k . Podle hedgehog česání teorém, existuje bod takový, že , takže .

s

proti

p

s(p)

p

v(p)

p

p

v(p)=0

s(p)=p

Důkaz selže pouze tehdy, je-li pro nějaký bod opačný , protože v tomto případě není možné sestrojit jeho stereografickou projekci na tečnou rovinu v bodě .

p

s(p)

p

p

Na Zemi musí být cyklón. Zajímavou meteorologickou aplikaci této věty získáme uvažováním větru jako spojitého vektorového pole na povrchu planety. Uvažujme idealizovaný případ, ve kterém je složka pole kolmá k povrchu zanedbatelně malá. Věta o česání ježka říká, že na povrchu planety bude vždy bod, kde nefouká vítr (nula vektorového pole tečny). Takový bod bude středem cyklónu nebo anticyklóny: vítr bude vířit kolem tohoto bodu (nemůže směřovat k tomuto bodu ani ven). Pokud tedy na Zemi fouká alespoň nějaký vítr, pak podle teorému o česání ježka musí být někde cyklón . Pro virtuální kameru neexistuje žádný jednoznačně definovaný souvislý „horní“ vektor. V , která pro každý vektor generuje kolmou, neexistuje žádná spojitá funkce. V počítačové grafice je tradiční poloha kamery , která se dívá z bodu A na objekt B, následující: je vybrán určitý směr („nahoře“) a požadovaný vektor („horní část snímku“) je ortogonální složkou horní směr k vektoru AB. Samozřejmě, když se kamera potřebuje podívat přímo nahoru nebo dolů, je tento vektor nulový. Věta říká, že ani ve vesmíru, kde neexistuje „nahoru“ a „dolů“, nelze provést takové zobrazení, aby bylo jednoznačné a bez takových speciálních směrů.

\mathbb {R} ^{3}

Variace a zobecnění

Obecněji lze ukázat, že určitý součet nul tečného vektorového pole se musí rovnat 2, což je Eulerova charakteristika dvourozměrné koule, takže musí existovat alespoň jedna nula. Toto je důsledek Poincarého teorému vektorového pole . Pro dvourozměrný torus je Eulerova charakteristika 0, takže ji lze "učesat". Obecně platí, že jakékoli spojité tečné vektorové pole na kompaktní pravidelné 2 - roztoce s nenulovou Eulerovou charakteristikou má alespoň jednu nulu.

Spojení s Eulerovou charakteristikou naznačuje správné zobecnění: na -rozměrné sféře nikde není nenulové spojité vektorové pole ( ). Rozdíl mezi sudými a lichými dimenzemi je v tom, že -rozměrná Betti čísla v -rozměrné kouli jsou 0 pro všechny kromě a , takže jejich střídavý součet je 2 pro sudé a 0 pro liché. $\chi$ $2n$ $n\geqslant 1$ $k$ $m$ $k$ $k=0$ $k=m$ $\chi$ $m$

Velmi blízké tvrzení z algebraické topologie je založeno na Lefschetzově větě o pevném bodě . Protože Bettiho čísla dvourozměrné koule jsou rovna 1, 0, 1, 0, 0, …, pak je Lefschetzovo číslo (úplná stopa homologie ) identického zobrazení rovno 2 . Integrací vektorového pole získáme (alespoň v malém okolí 0) jednoparametrovou difeomorfní grupu na sféře, ve které jsou všechny mapy homotopické k identitě. V důsledku toho mají všechny také Lefschetzovo číslo 2, a proto mají pevné body (protože jejich Lefschetzovo číslo je nenulové). Lze dokázat, že tyto body budou skutečně nulami vektorového pole. To vede k formulaci obecnějšího Poincarého věty o vektorovém poli .

Viz také

Poincarého věta o vektorovém poli

Poznámky

↑ „až v roce 1912 dokázal obecný případ holandský matematik LEJBrouwer“ Archivováno 10. května 2022 ve Wayback Machine / The Hairy Ball Theorem. Mark Joppolo. AfterMath Issue 5, 2008, University of Western Australia
↑ L.E.J. Brouwer. Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten / Mathematische Annalen (1912) Svazek: 71, str. 97-115; ISSN: 0025-5831; 1432-1807/e Archivováno 17. července 2020 na Wayback Machine , celý text Archivováno 17. července 2020 na Wayback Machine (německy)
↑ Věta o vlasech – od Wolframa MathWorld . Staženo 20. května 2020. Archivováno z originálu 10. ledna 2020. (neurčitý)

Literatura

Murray Eisenberg, Robert Guy. Důkaz věty o chlupatém míči . — The American Mathematical Monthly. — Sv. 86- č. 7 (srpen-září, 1979). - str. 571–574.