Transcendentální číslo

Transcendentální číslo (z latinského  transcendere  - projít, překročit) je reálné nebo komplexní číslo , které není algebraické  - jinými slovy, číslo, které nemůže být kořenem polynomu s celočíselnými koeficienty (ne shodně rovnými nule) [ 1] . V definici lze také nahradit polynomy celočíselnými koeficienty polynomy s racionálními koeficienty, protože mají stejné kořeny.

Vlastnosti

Všechna komplexní čísla jsou rozdělena do dvou nepřekrývajících se tříd – algebraické a transcendentální. Z hlediska teorie množin existuje mnohem více transcendentálních čísel než algebraických: množina transcendentálních čísel je spojitá a množina algebraických čísel je spočetná .

Každé transcendentální reálné číslo je iracionální , ale opak není pravdou. Například číslo  je iracionální, ale ne transcendentní: je to kořen rovnice (a proto je algebraické).

Na rozdíl od množiny algebraických čísel, což je pole , netvoří transcendentální čísla žádnou algebraickou strukturu s ohledem na aritmetické operace - výsledkem sčítání, odčítání, násobení a dělení transcendentálních čísel může být jak transcendentální číslo, tak algebraické číslo. Existuje však několik omezených způsobů, jak získat transcendentní číslo z jiného transcendentního čísla.

1. Jestliže  je transcendentální číslo, pak a jsou také transcendentální.
2. Jestliže  je nenulové algebraické číslo a  je transcendentální číslo, pak jsou transcendentální.
3. Jestliže  je transcendentální číslo a  je přirozené číslo , pak je transcendentální také.

Mírou iracionality téměř každého (ve smyslu Lebesgueovy míry ) transcendentálního čísla je 2.

Příklady transcendentálních čísel

• Číslo ( F. von Lindemann , 1882).
• Číslo ( Sh. Hermit , 1873).
• Gelfondova konstanta ( A. O. Gelfond , 1934).
• ( Ju. V. Nesterenko , 1996).
• Desetinný logaritmus libovolného přirozeného čísla [2] , kromě čísel ve tvaru .
• a , pro jakékoli nenulové algebraické číslo ( Lindemann-Weierstrassovou větou ).

Historie

Poprvé koncept transcendentálního čísla (a tento termín sám o sobě) zavedl Leonhard Euler ve své práci „ Derelation inter tres pluresve quantitates instituenda “ (1775) [3] . Euler se tímto tématem zabýval již ve 40. letech 18. století [4] ; uvedl, že hodnota logaritmu pro racionální čísla není algebraická („ radikální “, jak se tehdy říkalo) [5] , kromě případu, kdy se pro některé racionální Eulerovo tvrzení ukázalo jako pravdivé, ale nebylo prokázáno, dokud 20. století.

Existenci transcendentálních čísel dokázal Joseph Liouville v roce 1844 , když publikoval teorém , že algebraické číslo nelze příliš dobře aproximovat racionálním zlomkem. Liouville konstruoval konkrétní příklady (" Liouville čísla "), které se staly prvními příklady transcendentálních čísel.

V roce 1873 Charles Hermite dokázal transcendenci čísla e , základu přirozených logaritmů. V roce 1882 Lindemann dokázal transcendenční teorém pro stupeň čísla e s nenulovým algebraickým exponentem, čímž dokázal transcendenci čísla a neřešitelnost problému kvadratury kruhu .

V roce 1900 na II. mezinárodním kongresu matematiků Hilbert mezi problémy , které formuloval, formuloval sedmý problém : „Pokud je ,  algebraické číslo a  je algebraické, ale iracionální, je pravda, že  je to transcendentální číslo? Konkrétně, je číslo transcendentální ? Tento problém vyřešil v roce 1934 Gelfond , který dokázal, že všechna taková čísla jsou skutečně transcendentální.

Variace a zobecnění

V Galoisově teorii se uvažuje o obecnější definici: prvek rozšíření pole P je transcendentální, pokud není kořenem polynomu nad P.

Existuje analogie teorie transcendentálních čísel pro polynomy s celočíselnými koeficienty definovanými na poli p-adických čísel [1] .

Některé otevřené problémy

• Není známo, zda je číslo racionální nebo iracionální , algebraické nebo transcendentní [6] .
• Míra iracionality pro čísla je neznámá [7] .

Viz také

• Prsten teček
• Stupeň transcendence

Poznámky

1. ↑ 1 2 Encyklopedie matematiky, 1985 .
2. ↑ Gelfond A. O. , Transcendentální a algebraická čísla, M., 1952.
3. ↑ Žukov A. Algebraická a transcendentální čísla . Staženo: 9. srpna 2017. (neurčitý)
4. ↑ Gelfond A. O. Transcendentální a algebraická čísla. - M. : GITTL, 1952. - S. 8. - 224 s.
5. ↑ Euler, L. Introductio in analysin infinitorum  (lat.) . — Lausanne, 1748.
6. ↑ Weisstein, Eric W. Číslo π  (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .
7. ↑ Weisstein, Eric W. Measure of iracionality  at Wolfram MathWorld .

Literatura

• Sprindzhuk V. G. Transcendentální číslo // Mathematical Encyclopedia  : [v 5 svazcích] / Ch. vyd. I. M. Vinogradov . - M .: Sovětská encyklopedie, 1985. - T. 5: Slu - Ya. - S. 426-427. - 1248 stb. : nemocný. — 150 000 výtisků.
• Feldman N. Algebraická a transcendentální čísla  // Kvant . - 1983. - č. 7 . - S. 2-7 .

Slovníky a encyklopedie	Velká Katalánština Velký Rus Britannica (online) Universalis
V bibliografických katalozích	BNF : 11939601n J9U : 987007538746705171 LCCN : sh85093223 NDL : 00573599 NKC : ph215331