Trigonometrické číslo

V matematice je trigonometrické číslo ( angl.  trigonometric number ) [1]  iracionální číslo získané jako sinus nebo kosinus racionálního počtu otáček nebo ekvivalentně sinus nebo kosinus úhlu, jehož hodnota v radiánech je racionálním násobkem . pí , nebo sinus nebo kosinus racionálního počtu stupňů .

Reálné číslo jiné než 0, 1, −1 je trigonometrické číslo právě tehdy, když je skutečnou částí odmocniny jednoty .

Důkazy teorémů o těchto číslech podal kanadsko-americký matematik Ivan Niven [1] , později jeho důkazy zdokonalili a zjednodušili Li Zhou a Lubomir Markov [2] .

Nějaké trigonometrické číslo může být vyjádřeno v podmínkách radikálů . Tak každé trigonometrické číslo je algebraické číslo . Poslední tvrzení lze dokázat [1] , přičemž za základ vezmeme Moivreho vzorec pro případ koprima k an:

Rozšířením levé strany a přirovnáním reálných částí dostaneme rovnici v a dosazením dostaneme polynomickou rovnici, která má své vlastní řešení, takže to druhé je podle definice algebraické číslo. Je také algebraické číslo, protože se rovná algebraickému číslu Konečně, kde je racionální násobek , je algebraické číslo, které lze získat přirovnáním imaginárních částí dvou stran rozšíření de Moivreovy rovnice k navzájem a dělením získáme polynomickou rovnici v

Poznámky

1. ↑ 1 2 3 Niven, Ivan. Iracionální čísla , Carusovy matematické monografie č. 11, 1956.
2. ↑ Li Zhou a Lubomir Markov. Opakované důkazy iracionality určitých trigonometrických hodnot  ​​(anglicky)  // American Mathematical Monthly  : journal. - 2010. - Sv. 117 . - str. 360-362 . doi : 10.4169 / 000298910x480838 . https://arxiv.org/abs/0911.1933 Archivováno 7. února 2019 na Wayback Machine