Trigonometrický polynom

Trigonometrický polynom je funkcí reálného argumentu, který je konečným trigonometrickým součtem, tedy funkcí reprezentovanou jako:

f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k}\cos(kx)+b_{k}\ hřích(kx))

kde je argument a koeficienty a . $x,a_{k},b_{k}\in \mathbb {R}$ $k=1,2,...,n$

V komplexní formě, podle Eulerova vzorce, je takový polynom zapsán následovně:

{\displaystyle f(x)=\sum _{k=-n}^{k=n}c_{k}e^{ikx))

kde . $c_{0}={\frac {a_{0}}{2}},c_{k}={\frac {(a_{k}-ib_{k})}{2}},c_{ -k}={\frac {(a_{k}+ib_{k})}{2}}$

Tato funkce je nekonečně diferencovatelná a -periodická - spojitá na jednotkové kružnici. $2\pi$

Goniometrické polynomy jsou nejdůležitějším prostředkem aproximace funkcí, používaným pro interpolaci a řešení diferenciálních rovnic .

Podle Weierstrassovy věty existuje pro jakoukoli funkci spojitou na kružnici posloupnost trigonometrických polynomů, která k ní rovnoměrně konverguje.

Trigonometrický polynom je částečným součtem Fourierovy řady . Podle Fejerovy věty konverguje posloupnost aritmetických průměrů dílčích součtů Fourierovy řady rovnoměrně k funkci spojité na kružnici. To poskytuje jednoduchou konstruktivní metodu pro konstrukci rovnoměrně konvergentní posloupnosti trigonometrických polynomů.

Literatura

Matematický encyklopedický slovník . - M .: "Sovy. encyklopedie“ , 1988. - S. 847 .
Zhuk V.V., Natanson G.I. Trigonometrické Fourierovy řady a prvky teorie aproximace. - L . : Nakladatelství Leningrad. un-ta, 1983. - S. 188.