Carathéodoryho rovnice

Carathéodoryho rovnice (pojmenovaná podle německého matematika řeckého původu Constantina Carathéodoryho ) je obyčejná diferenciální rovnice

{\frac {dx}{dt}}=f(t,\;x),\ x=(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})\in \mathbb {R } ^{n},\ n\geqslant 1,\quad(*)

ve kterém pravá strana (tedy složky vektorové funkce ) nesplňuje klasickou podmínku, která zajišťuje existenci a jednoznačnost řešení s danou počáteční hodnotou (návaznost v množině argumentů a Lipschitzova podmínka v ), ale nějaký mnohem slabší stav nazývaný Carathéodoryho stav : $F$ $X$

vektorová funkce je definována a spojitá s ohledem na téměř všechny (ve smyslu Lebesgueovy míry ) v oblasti prostoru . $F$ $X$ $t$ $D$ $(t,\;x)$
vektorová funkce je měřitelná s ohledem na každou v doméně . $F$ $t$ $X$ $D$
pro každý ohraničený interval osy v oblasti platí nerovnost kde je sčítací (to je , Lebesgueova integrovatelná ) funkce. $t$ $D$ $|f(t,\;x)|\leqslant m(t),$ $m(t)$

Řešení Carathéodoryho rovnice (*) s počáteční podmínkou je měřitelná vektorová funkce , která splňuje integrální rovnici $x(t_{0})=x_{0}$ $x(t),$

x(t)=x_{0}+\int \limits _{t_{0}}^{t}f(\tau ,\;x(\tau ))\,d\tau .\quad ( **)

Integrál v (**) je chápán ve smyslu Lebesgueova integrálu pro každou složku vektorové funkce . Správnost definice vychází ze skutečnosti, že složení měřitelné funkce a funkce splňující Carathéodoryho podmínku je integrovatelnou funkcí proměnné $F$ $x(t)$ $f(t,\;x)$ $t.$

Carathéodoryho rovnice nacházejí uplatnění v různých oblastech matematiky. Navíc mají mnoho vlastností, které jsou vlastní klasickým rovnicím se spojitou pravou stranou.

Věta o existenci a jedinečnosti

Předpokládejme, že Carathéodoryho podmínka je splněna v oblasti , pak existuje takové , že rovnice (*) s počáteční podmínkou má řešení na intervalu .Jakékoli číslo splňující podmínky lze považovat za ${\displaystyle D=\{t_{0}\leqslant t\leqslant t_{0}+a,\;|x-x_{0}|\leqslant b\))$ $a,\;b>0,$ $\delta>0,$ $x(t_{0})=x_{0}$ $x(t)$ $[t_{0},\;t_{0}+\delta ].$ $\delta$

0<\delta \leqslant a,\quad \mu (t_{0}+\delta )\leqslant b,\quad \mu (t):=\int \limits _{t_{0))^{ t}m(\tau )\,d\tau .

Pokud existuje integrovatelná funkce taková , že nerovnost $l(t),$

|f(t,\;x)-f(t,\;y)|\leqslant l(t)|xy|,\quad \forall (t,\;x),\;(t,\ ;y)\in D,

nebo nerovnost

(f(t,\;x)-f(t,\;y))\cdot (xy)\leqslant l(t)|xy|^{2},\quad \forall (t,\; x),\;(t,\;y)\v D,

kde v případě , že tečka znamená skalární součin , pak rovnice (*) s počáteční podmínkou v oboru má nejvýše jedno řešení. $n>1$ $x(t_{0})=x_{0}$ $D$

Literatura

Filippov AF Diferenciální rovnice s nespojitou pravou stranou. - Moskva: Nauka, 1985.

Odkazy

Achmerov R. R. Eseje o teorii obyčejných diferenciálních rovnic