Lane-Emdenova rovnice

Lane-Emdenova rovnice v astrofyzice je bezrozměrná forma Poissonovy rovnice pro gravitační potenciál newtonovské samogravitující sféricky symetrické polytropní tekutiny. Rovnice je pojmenována po astrofyzicích Jonathanu Laneovi a Robertu Emdenovi . [1] Rovnice má tvar

{\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d \xi }}}\right)+\theta ^{n}=0,

kde je bezrozměrný poloměr, souvisí s hustotou a následně s tlakem, vztah pro středovou hustotu . Exponent je polytropický index uvedený v polytropické stavové rovnici $\xi$ $\theta$ ${\displaystyle \rho =\rho _{c}\theta ^{n))$ $\rho _{c}$ $n$

P=K\rho ^{1+{\frac {1}{n))}\,

kde a jsou tlak a hustota, je koeficient úměrnosti. Standardní počáteční podmínky: a . Řešení popisují závislost tlaku a hustoty na poloměru a představují polytropy s indexem . Pokud se místo polytropní látky uvažuje izotermická látka, pak se rovnice nazývá Chandrasekharova rovnice . $P$ $\rho$ $K$ $\theta(0)=1$ $\theta '(0)=0$ $n$

Aplikace

Ve fyzikálním smyslu hydrostatická rovnováha dává do vztahu potenciálový gradient, hustotu a tlakový gradient, Poissonova rovnice dává do souvislosti potenciál a hustotu. Pokud tedy existuje rovnice, která vztahuje změnu tlaku ke změně hustoty, pak je možné získat řešení tohoto problému. Volba polytropního plynu uvažovaného v úloze poskytuje stručnou formulaci problému a vede k Lane-Emdenově rovnici. Rovnice je důležitou aproximací pro parametry samogravitujících plazmových koulí, jako jsou hvězdy, ale stále ukládá modelu omezení.

Odvození rovnice

Z podmínky hydrostatické rovnováhy

Uvažujme samogravitující sféricky symetrickou distribuci tekutiny ve stavu hydrostatické rovnováhy. Hmotnost je zachována, hmota je popsána rovnicí kontinuity :

{\frac {dm}{dr}}=4\pi r^{2}\rho ,

kde je funkce . Rovnice hydrostatické rovnováhy má tvar $\rho$ $r$

{\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}},

kde je také funkce . Opakovaná diferenciace vede k výrazu $m$ $r$

{\begin{aligned}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)&={\ frac {2Gm}{r^{3}}}-{\frac {G}{r^{2}}}{\frac {dm}{dr}}\\&=-{\frac {2}{\ rho r}}{\frac {dP}{dr}}-4\pi G\rho ,\end{aligned}}

kde byla použita rovnice kontinuity k nahrazení gradientu hmoty. Vynásobíme obě strany rovnosti a přeneseme členy s derivacemi na levé straně: $r^{2}$ $P$

r^{2}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)+{\frac { 2r}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}={\frac {d}{dr}}\left({\frac {r^{2}}{\rho }}{\frac { dP}{dr}}\right)=-4\pi Gr^{2}\rho .

Obě strany vydělíme a v tomto případě získáme v určitém smyslu rozměrový tvar požadované rovnice. Pokud nahradíme polytropickou stavovou rovnici za a , pak rovnost nabude tvaru $r^{2}$ $P=K\rho _{c}^{1+{\frac {1}{n}}}\theta ^{n+1}$ ${\displaystyle \rho =\rho _{c}\theta ^{n))$

{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}K\rho _{c}^{\frac {1}{ n}}(n+1){\frac {d\theta }{dr}}\right)=-4\pi G\rho _{c}\theta ^{n}.

Udělejme náhradu , kde $r=\alpha \xi$

\alpha ^{2}=(n+1)K\rho _{c}^{{\frac {1}{n}}-1}/4\pi G,

v tomto případě získáme Lane-Emdenovu rovnici,

{\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d \xi }}}\right)+\theta ^{n}=0.

Z Poissonovy rovnice

Podobně lze začít derivaci s Poissonovou rovnicí :

\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {d\ Phi }{dr}}\right)=4\pi G\rho .

Potenciální gradient můžete nahradit rovnicí hydrostatické rovnováhy:

{\frac {d\Phi }{dr}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}},

což opět dává rozměrovou podobu požadované rovnice.

Rozhodnutí

Pro danou hodnotu polytropního indexu označíme řešení rovnice jako . V obecném případě musí být rovnice vyřešena numericky, aby bylo možné určit . Existují přesná analytická řešení pro určité hodnoty , zejména pro . Pro mezi 0 a 5 jsou řešení spojitá a konečná v rozsahu, poloměr hvězdy je dán vztahem , kde . $n$ $\theta _{n}(\xi )$ $\Opalování$ $n$ $n=0,1,5$ $n$ ${\displaystyle R=\alpha \xi _{1))$ $\theta _{n}(\xi _{1})=0$

Pro toto řešení je hustotní profil dán výrazem $\Opalování$

{\displaystyle \rho =\rho _{c}\theta _{n}^{n))

Celková hmotnost modelu hvězdy může být nalezena integrací hustoty přes poloměr od 0 do . $M$ $\xi_1$

Tlak lze určit pomocí polytropické stavové rovnice , tzn. ${\displaystyle P=K\rho ^{1+{\frac {1}{n))))$

P=K\rho _{c}^{1+{\frac {1}{n}}}\theta _{n}^{n+1}.

Konečně, pokud je plyn ideální, pak stavová rovnice je , kde je Boltzmannova konstanta a je průměrná molekulová hmotnost. Teplotní profil vypadá takto: $P=k_{B}\rho T/\mu$ $k_B$ $\mu$

T={\frac {K\mu }{k_{B}}}\rho _{c}^{1/n}\theta _{n}.

Přesná řešení

V případě sféricky symetrického rozložení hmoty je Lane-Emdenova rovnice integrována pouze pro tři hodnoty polytropního indexu . $n$

n = 0

Jestliže , rovnice má tvar $n=0$

{\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\ xi }}\right)+1=0.

Uspořádáme podmínky a integrujeme:

\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}=C_{1}-{\frac {1}{3}}\xi ^{3}.

Vydělte obě strany , integrujte: $\xi ^{2}$

\theta (\xi )=C_{0}-{\frac {C_{1}}{\xi }}-{\frac {1}{6}}\xi ^{2}.

Okrajové podmínky a předpokládají, že konstanty integrace jsou rovny a . Tudíž, $\theta(0)=1$ $\theta '(0)=0$ $C_{0}=1$ $C_{1}=0$

\theta (\xi )=1-{\frac {1}{6}}\xi ^{2}.

n = 1

Jestliže , rovnice může být reprezentována jako $n=1$

{\frac {d^{2}\theta }{d\xi ^{2}}}+{\frac {2}{\xi }}{\frac {d\theta }{d\xi } }+\theta=0.

Předpokládáme, že řešení lze reprezentovat jako řadu

\theta (\xi )=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\xi ^{n}.

V tomto případě se získá rekurzivní vztah pro expanzní koeficienty:

a_{n+2}=-{\frac {a_{n}}{(n+3)(n+2))).

Tento vztah lze vyřešit získáním obecného řešení:

\theta (\xi )=a_{0}{\frac {\sin \xi }{\xi }}+a_{1}{\frac {\cos \xi }{\xi )).

Okrajová podmínka pro fyzický polytrop vyžaduje, aby při . Potom , což dává řešení ve tvaru $\theta (\xi )\rightarrow 1$ $\xi \rightarrow 0$ $a_{0}=1,a_{1}=0$

\theta (\xi )={\frac {\sin \xi }{\xi )).

n = 5

Zvažte Lane-Emdenovu rovnici:

{\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\ xi }}\right)+\theta ^{5}=0.

Protože dostáváme ${\frac {d\theta }{d\xi }}$

{\frac {d\theta }{d\xi }}={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right )^{3/2}{\frac {2\xi }{3}}={\frac {\xi ^{3}}{3[1+{\frac {\xi ^{2}}{3} }]^{3/2}}}.

Rozlišujte s ohledem na ξ :

\theta ^{5}={\frac {\xi ^{2}}{[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}]^{3/2}}}+ {\frac {3\xi ^{2}}{9[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}]^{5/2}}}={\frac {9}{9 [1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}]^{5/2}}}.

Po zjednodušení dostáváme

\theta ^{5}={\frac {1}{[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}]^{5/2}}}.

Takže rovnice má řešení

{\displaystyle \theta (\xi )={\frac {1}{\sqrt {1+\xi ^{2}/3))))

v . Toto řešení je konečné v hmotnosti, ale nekonečné v poloměru, proto tento polytrop nemá žádné fyzikální řešení. $n=5$

Numerická řešení

V obecném případě se řešení nalézají metodami numerické integrace. Mnoho standardních metod předpokládá, že problém je formulován jako systém obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu. Například,

{\frac {d\theta }{d\xi }}=-{\frac {\phi }{\xi ^{2}}},

{\frac {d\phi }{d\xi }}=\theta ^{n}\xi ^{2}.

Zde je bezrozměrná hmota definovaná jako . Odpovídající počáteční podmínky jsou a . První rovnice je rovnice hydrostatické rovnováhy, druhá je zákon zachování hmoty. $\phi (\xi )$ $m(r)=4\pi \alpha ^{3}\rho _{c}\phi (\xi )$ $\phi (0)=0$ $\theta(0)=1$

Homologické proměnné

Homologicky invariantní rovnice

Je známo, že pokud je řešením Lane-Emdenovy rovnice, pak je řešením. [2] Takto související řešení se nazývají homologní, proces přechodu mezi nimi se nazývá homologie. Pokud jsou proměnné vybrány jako invariantní pod homologií, objemy mohou snížit pořadí rovnice o jednu. $\Taxi )$ $C^{2/n+1}\theta (C\xi )$

Takových proměnných je mnoho. Jedna pohodlná možnost je následující:

U={\frac {d\log m}{d\log r}}={\frac {\xi ^{3}\theta ^{n}}{\phi }}

V={\frac {d\log P}{d\log r}}=(n+1){\frac {\phi }{\xi \theta )).

Po derivování logaritmů těchto proměnných vzhledem k dostaneme výrazy $\xi$

{\frac {1}{U}}{\frac {dU}{d\xi }}={\frac {1}{\xi }}(3-n(n+1)^{-1 }VU

{\frac {1}{V}}{\frac {dV}{d\xi }}={\frac {1}{\xi }}(-1+U+(n+1)^{- 1}V)

Poté proměnné rozdělíme do dvou rovnic, abychom odstranili závislost na , načež získáme výraz $\xi$

{\frac {dV}{dU}}=-{\frac {V}{U}}\left({\frac {U+(n+1)^{-1}V-1}{U+ n (n+1)^{-1}V-3}}\vpravo),

což je rovnice prvního řádu.

Topologie homologicky invariantní rovnice

Homologicky invariantní rovnici lze považovat za autonomní dvojici rovnic

{\frac {dU}{d\log \xi }}=-U(U+n(n+1)^{-1}V-3)

{\frac {dV}{d\log \xi }}=V(U+(n+1)^{-1}V-1).

Chování řešení těchto rovnic lze určit analýzou lineární stability. Kritické body rovnice (kde ) a vlastní hodnoty a vektory Jacobiho matice jsou uvedeny v tabulce níže. [3] $dV/d\log \xi =dU/d\log \xi =0$

{\begin{array}{|l|l|l|}\hline {\text{Kritické body}}&{\text{Eigenvalues}}&{\text{Eigenvectors}}\\\hline (0 ,0)&3,-1&(1,0),(0,1)\\(3,0)&-3,2&(1,0),(-3n,5+5n)\\(0 ,n +1)&1,3-n&(0,1),(2-n,1+n)\\\left({\dfrac {n-3}{n-1)),2{\dfrac { n+ 1}{n-1}}\right)&{\dfrac {n-5\pm \Delta _{n}}{2-2n}}&(1-n\mp \Delta _{n}, 4+ 4n)\\\hline \end{array}}

Literatura

Horedt, Georg P. Polytropes - Aplikace v astrofyzice a příbuzných oborech . - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers , 2004. - ISBN 978-1-4020-2350-7 .

Poznámky

↑ Lane, Jonathan HomerO teoretické teplotě Slunce za hypotézy plynné hmoty udržující svůj objem vnitřním teplem a v závislosti na zákonech plynů známých pozemským experimentům // The American Journal of Science and Arts : deník. - 1870. - Sv. 2 . - str. 57-74 .
↑ Chandrasekhar, Subrahmanyan Úvod do studia hvězdné struktury . — Chicago, Illinois: University of Chicago Press , 1939.
↑ Horedt, Georg P. Topologie Lane-Emdenovy rovnice // Astronomie a astrofyzika : časopis . - 1987. - Sv. 117 , č. 1-2 . - S. 117-130 . - .

Odkazy

Weisstein, Eric W. Lane-Emden Differential Equation (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .