Lindbladova rovnice

Lindbladova rovnice (vzácněji - Gorini - Kossakovsky - Sudarshan - Lindbladova rovnice, angl. GKSL rovnice ) - rovnice pro matici hustoty , je nejobecnější formou Markovovy generující rovnice , popisující nejednotné ( disipativní , ne -hamiltonovský ) vývoj matice hustoty . V tomto případě je evoluce reprezentována zcela pozitivním mapováním ( superoperátor ), které zachovává stopu . Navrhli v roce 1976 Vittorio Gorini , Andrzej Kossakowski , George Sudarshan [1] a Göran Lindblad [2] . $\rho$

Lindbladovu rovnici pro matici hustoty lze zapsat takto:

{\frac {d}{dt}}\rho ={\frac {1}{i\hbar }}[H,\rho ]+{\frac {1}{2\hbar }}\součet _ {k=1}^{\infty }{\big (}[V_{k}\rho ,V_{k}^{\dagger }]+[V_{k},\rho V_{k}^{\dagger }]{\big )},

kde je matice hustoty, je Hamiltonův operátor a jsou některé operátory . Pokud jsou operátory rovny nule, pak se Lindbladova rovnice stává von Neumannovou rovnicí (kvantová Liouvilleova rovnice). $\rho$ $H$ $V_{k}$ $V_{k}$

Lindbladova rovnice se také nazývá rovnice pro kvantovou pozorovatelnou veličinu . Tato rovnice vypadá takto:

{\frac {d}{dt}}A=-{\frac {1}{i\hbar }}[H,A]+{\frac {1}{2\hbar }}\součet _{ k=1}^{\infty }{\big (}V_{k}^{\dagger }[A,V_{k}]+[V_{k}^{\dagger },A]V_{k}{ \big )},

kde je kvantum pozorovatelné. Pokud jsou operátory rovny nule, pak se Lindbladova rovnice pro kvantově pozorovatelné stane Heisenbergovou rovnicí $A$ $V_{k}$ $A$

Lindbladova rovnice, nazývaná také kvantová Markovova rovnice, se používá k popisu otevřených , disipativních a nehamiltonských kvantových systémů.

Důležitým konkrétním případem Lindbladovy rovnice je model náhodné srážky [3] , ve kterém mají operátory tvar: (pro usnadnění zápisu je index matice nahrazen dvojitým). Dosazením těchto operátorů se Lindbladova rovnice dostane do tvaru: $V_{k}$ $V_{kl}=\hbar \gamma {\sqrt ({\tilde {\rho }}_{kk}}}|k\rangle \langle l|$ $\k$

{\frac {d}{dt}}\rho ={\frac {1}{i\hbar }}[H,\rho ]+\gamma ({\tilde {\rho }}-\rho ) ,

kde je pevná diagonální matice s nenulovými prvky , taková, že , popisující matici hustoty termodynamicky rovnovážného stavu systému. Model náhodné srážky je vhodný pro případy, kdy k interakci kvantového systému s rezervoárem dochází v režimu krátkých a silných pulzů, mezi kterými se systém vyvíjí jako uzavřený. ${\tilde {\rho ))$ ${\displaystyle {\tilde {\rho ))_{kk))$ $\operatorname {Tr} {\tilde {\rho }}=1$

Poznámky

↑ Gorini V., Kossakowski A., Sudarshan EKG Zcela pozitivní dynamické pologrupy N-úrovňových systémů // J. Math. Phys. - 1976. - č. 17 . - S. 821-825 . (nedostupný odkaz)
↑ Lindblad G. O generátorech kvantových dynamických pologrup, Commun. Matematika. Phys. - 1976. - č. 48 . - S. 119-130 . Archivováno z originálu 4. března 2016.
↑ Ilyinsky Yu. A., Keldysh L. V. Interakce elektromagnetického záření s hmotou .. - M. : MSU Publishing House, 1989.

Literatura

Isar A., Sandulescu A., Scutaru H., Stefanescu E., Scheid W. Otevřené kvantové systémy // Int. J. Mod. Phys. - 1994. - č. 3 . - S. 635-714 .
Accardi L., Lu YG, Volovich IV kvantová teorie a její stochastická limita . - New York: Springer Verlag, 2002. (nedostupný odkaz)
Alicki R., Lendi K. Kvantové dynamické pologrupy a aplikace . Berlín: Springer Verlag, 1987.
Attal S., Joye A., Pillet C.-A. Otevřené kvantové systémy: Markovovský přístup . — Springer, 2006.
Ingarden RS, Kossakowski A., Ohya M. Informační dynamika a otevřené systémy: klasický a kvantový přístup . — New York: Springer Verlag, 1997.
Lindblad G. Nerovnovážná entropie a nevratnost. Delta Reidel . - Dordrecht, 1983. - ISBN 1-40-200320-X .
Tarasov VE Kvantová mechanika nehamiltonských a disipativních systémů . - Amsterdam, Boston, Londýn, New York: Elsevier Science, 2008.
Weiss U. Kvantové disipativní systémy . - Singapur: World Scientific, 1993.
Holevo AS Statistická struktura kvantové teorie. - Moskva, Iževsk: Institut pro počítačový výzkum, 2003. - 192 s. — ISBN 5-93972-207-5 .
Kvantové náhodné procesy a otevřené systémy / Sat. články 1982-1984. Za. z angličtiny. — M .: Mir, 1988. — 223 s.
Breuer H.-P., Petruccione F. Teorie otevřených kvantových systémů . - M. : RHD, 2010. - 223 s. Archivováno 19. února 2010 na Wayback Machine