Fredholmova integrální rovnice

Fredholmova integrální rovnice [1] je integrální rovnice , jejímž jádrem je Fredholmovo jádro . Pojmenováno po švédském matematikovi Ivaru Fredholmovi . Postupem času se studium Fredholmovy rovnice rozrostlo v nezávislou sekci funkcionální analýzy - Fredholmovu teorii , která studuje Fredholmova jádra a Fredholmovy operátory .

Obecná teorie

Obecná teorie založená na Fredholmových rovnicích je známá jako Fredholmova teorie . Teorie uvažuje o integrální transformaci speciální formy

$\psi(s) = \int\limits_a^b\!K(s, t) \varphi(t)\, dt$

kde funkce se nazývá jádro rovnice a operátor definovaný jako $K$ $A$

$A\varphi = \int\limits_a^b\!K(s, t) \varphi(t)\, dt$ , se nazývá Fredholmův operátor (neboli integrál).

Jedním ze základních výsledků je skutečnost, že jádro K je kompaktní operátor , jinak známý jako Fredholmův operátor . Kompaktnost lze ukázat pomocí jednotné spojitosti . Jako operátor, spektrální teorie může být aplikována na jádro , studovat spektrum eigenvalues .

Rovnice prvního druhu

Nehomogenní Fredholmova rovnice prvního druhu má tvar:

g(t)=\int\limits_a^b\!K(t,s)f(s)\,ds

a problém je v tom, že pro danou spojitou funkci jádra a funkce najděte funkci . $K(t,s)$ $g(t)$ $f(s)$

Pokud je jádro funkcí rozdílu jeho argumentů, tedy , a mezí integrace , pak lze pravou stranu rovnice přepsat jako konvoluci funkcí a , a proto je řešení dáno vzorcem $K(t,s)=K(ts)$ $\pm \infty$ $K$ $F$

f(t) = \mathcal{F}_\omega^{-1}\left[ {\mathcal{F}_t[g(t)](\omega)\over \mathcal{F}_t[K(t )](\omega)} \right]=\int\limits_{-\infty}^\infty\!{\mathcal{F}_t[g(t)](\omega)\over \mathcal{F}_t [K(t)](\omega)}e^{2\pi i \omega t}\,d\omega

kde a jsou přímé a inverzní Fourierovy transformace , resp. Nutné a postačující podmínky pro existenci řešení definuje Picardova věta . ${\mathcal {F}}_{t}$ $\mathcal{F}_\omega^{-1}$

Rovnice druhého druhu

Nehomogenní Fredholmova rovnice druhého druhu vypadá takto:

\varphi (s)=\lambda \int \limits _{a}^{b}\!K(s,t)\varphi (t)\,dt+f(s)

Problém je najít funkci, která má jádro a funkci . V tomto případě závisí existence řešení a jeho násobnost na čísle zvaném charakteristické číslo (jeho převrácená hodnota se nazývá vlastní ). Standardní řešení používá pojem rozpouštědlo ; řešení psané jako série je známé jako Liouville-Neumann série . $K(t, s)$ $f(t)$ $\varphi (t)$ $\lambda$

Poznámky

↑ BRE . Získáno 18. června 2020. Archivováno z originálu dne 20. června 2020. (neurčitý)

Odkazy

Integrální rovnice: Přesná řešení - z EqWorld: Svět matematických rovnic.

Integrální rovnice: Metody řešení - z EqWorld: Svět matematických rovnic.

Doporučená četba

A. D. Polyanin, A. V. Manžirov. Příručka integrálních rovnic. Moskva, Fizmatlit, 2003.