Jádro integrálního operátoru

Jádro integrálního operátoru ( Fredholm kernel [1] ) je funkcí dvou argumentů , které definuje určitý integrální operátor pomocí rovnosti $K(x,\;y)$ $\mathcal{A}$

\varphi (y)={\mathcal {A}}[\varphi (x)]=\int K(x,\;y)\varphi (x)\,d\mu (x),

kde je prostor s mírou a patří do nějakého prostoru funkcí definovaných na . $x\in \mathbb {X}$ $d\mu(x)$ $\varphi(x)$ $\mathbb{X}$

Příklady

Jádro se nazývá -kernel , pokud splňuje podmínku: $K(x,\;y)$ $L_{2}$

\int \limits _{D}\int \limits _{D}|K(x,\;y)|^{2}\,dx\,dy<+\infty ,

kde je měřitelná funkce . $K(x,\;y)$ $D$

Taková jádra jsou hlavním předmětem úvah v teorii integrálních rovnic .

Jádro, které splňuje podmínku:

K(x,\;y)\equiv 0

y>x

nazývané jádro Volterry .

Symetrické jádro je jádro, pro které platí identita . $K(x,\;y)=K(y,\;x)$
Pokud platí identita , kde je komplexně konjugovaný k , pak se takové jádro nazývá Hermitian . $K(x,\;y)={\overline {K(y,\;x)))$ ${\overline {K(y,\;x)))$ $K(x,\;y)$
Pokud jádro připouští rozklad formuláře: $K(x,\;y)$

K(x,\;y)=\sum _{k=1}^{n}X_{k}(x)Y_{k}(y),

kde jsou dva systémy lineárně nezávislých čtvercových integrovatelných funkcí ( -funkce), takové jádro se nazývá Pinkerle - Goursat kernel nebo PG-kernel . ${\displaystyle \{X_{i}(x)\},\;\{Y_{i}(y)\))$ $(i=1,\;2,\;\ldots ,\;n)$ $L_{2}$

Související definice

Spektrum jádra je soubor jeho vlastních čísel .

Mercerova věta

Mercerova věta o rozkladu jádra říká:

Pokud je symetrické jádro spojité a má pouze kladná vlastní čísla (nebo nanejvýš konečný počet záporných vlastních hodnot) , pak platí následující reprezentace: $L_{2}$ $K(x,\;y)$ $\lambda_k$

K(x,\;y)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\varphi _{k}(x)\varphi _{k}(y)}{\ lambda _{k}}},

kde je ortogonální systém -funkcí. Řada konverguje absolutně a rovnoměrně . $\{\varphi _{k}(x)\}$ $L_{2}$

Literatura

Trikomi F. Integrální rovnice. - M . : Nakladatelství zahraniční literatury, 1960. - 300 s.
Polyanin A. D., Manzhirov A. V. Příručka integrálních rovnic. - M. : FIZMATLIT, 2003. - 608 s. — ISBN 5-9221-0288-5 . .
Polyanin A. D., Manzhirov A. V. Příručka integrálních rovnic: Přesná řešení. - M. : Factorial, 1998. - 432 s. — ISBN 5-88688-024-0 . .

Poznámky

↑ Matematická encyklopedie / Ed. I. M. Vinogradová. - M. : Mir, 1985. - T. 5. - S. 660. - 1060 s.