Středová rovnice

Středová rovnice  je v problému dvou těles úhlová vzdálenost mezi skutečnou polohou tělesa na eliptické dráze a polohou, kterou by těleso zaujímalo v případě rovnoměrného pohybu po kruhové dráze se stejnou dobou otáčení. . Definováno jako rozdíl mezi skutečnou anomálií ν a střední anomálií M , obvykle vyjádřené jako funkce střední anomálie a orbitální excentricity e . [jeden]

Diskuse

Od starověku byl úkol předpovídat pohyb nebeských těles zjednodušen na uvažování pohybu jednoho tělesa na oběžné dráze kolem druhého. Při výpočtu polohy tělesa na oběžné dráze je vhodné začít uvažováním kruhového pohybu. První aproximace je součinem konstantní úhlové rychlosti a časového intervalu. Existují různé metody pro korekci přibližné polohy na kruhové dráze na eliptickou dráhu, mnoho z těchto metod používá Keplerovu rovnici . Středová rovnice je jednou z nejjednodušších metod.

V případě malé excentricity orbity může být poloha získaná ze středové rovnice o nic méně přesná než výsledek aplikace jiných metod. Mnoho zkoumaných drah, jako jsou dráhy těles ve Sluneční soustavě nebo umělé družice Země , jsou téměř kruhové . S rostoucí excentricitou se přesnost rovnice zhoršuje, proto se rovnice nepoužívá pro oběžné dráhy s velkými excentricitami.

Rovnici v její moderní podobě lze považovat za libovolnou úroveň přesnosti; při zohlednění pouze nejdůležitějších pojmů rovnice umožňuje poměrně snadno vypočítat přibližnou polohu objektu . Podobné aproximace lze použít např. jako počáteční aproximaci v iteračních metodách řešení Keplerovy rovnice [1] .

Staří Řekové, konkrétně Hipparchos , znali rovnici středu jako prosférickou funkci , i když jejich představa o pohybu planet se lišila od té moderní. [2] Termín rovnice v moderním smyslu pochází z astronomie; to bylo používáno Keplerem jako označení pro výpočetně určenou proměnnou, která musí být přidána k nebo odečtena od středního pohybu získat skutečný pohyb . V astronomii má termín rovnice času podobný význam. [3] Rovnice středu ve své moderní podobě byla vyvinuta jako součást poruchové analýzy , zkoumající vliv třetího tělesa na pohyb v problému dvou těles. [4] [5]

Řádkové zobrazení

V případě Keplerova pohybu se souřadnice těla opakují na každém oběhu, což je definice periodické funkce . Takové funkce lze reprezentovat jako periodickou řadu pro plynule rostoucí úhlovou proměnnou, [6] nejčastěji se používá střední anomálie M . Protože roste rovnoměrně s časem, je vyjádření ostatních proměnných jako série z hlediska střední anomálie analogické expanzi proměnné v časové řadě. Protože excentricita e oběžné dráhy je malá, koeficienty řady mohou být vyjádřeny jako mocniny e . [5] Všimněte si, že ačkoliv řady mohou být reprezentovány ve zkrácené formě, představují součty s nekonečným počtem členů. [7]

Řady pro ν , skutečnou anomálii , lze vyjádřit pomocí M , e a Besselových funkcí prvního druhu, [8]

  kde Besselovy funkce a [9]

Výsledek rozkladu je vyjádřen v radiánech.

Besselovy funkce lze rozšířit do sérií z hlediska stupně excentricity e , [10]

a βm , ​​[ 11]

Po dosazení a zjednodušení výrazu má rovnice pro ν tvar (až do členu se stupněm e 7 ) [8]

přeneseme M na levou stranu a dostaneme rovnici středu:

Někdy je rovnice odvozena jiným způsobem a prezentována jako řada v mocninách excentricity s koeficienty jako funkce sin M (na člen s mocninou e 6 )

který je podobný tvaru rovnice získané výše. [12] [13]

Pro malé e řada rychle konverguje. Pokud e překročí 0,6627..., pak pro některé hodnoty M se řada rozchází, což objevil P.-S. Laplace . [12] [14]

Příklady

  Orbitální excentricita [15] Maximální hodnota středové rovnice
e 7 e 3 e 2
Venuše 0,006777 0,7766° 0,7766° 0,7766°
Země 0,01671 1,915° 1,915° 1,915°
Saturn 0,05386 6,174° 6,174° 6,186°
Mars 0,09339 10,71° 10,71° 10,77°
Rtuť 0,2056 23,68° 23,77° 23,28°

Poznámky

  1. ↑ 1 2 Vallado, David A. Základy astrodynamiky a  aplikací . - druhý. - Microcosm Press, El Segundo, CA, 2001. - S. 82. - ISBN 1-881883-12-4 .
  2. ↑ Narien, John. Historický popis původu a pokroku astronomie (anglicky) . - Baldwin a Cradock, Londýn, 1833. - S. 230-231.  
  3. ↑ Capderou, Michel. Dráhy a mise satelitů . - Springer-Verlag , 2005. - S.  23 . — ISBN 978-2-287-21317-5 .
  4. ↑ Moulton, Forest Ray. Úvod do nebeské mechaniky . — druhý revidovaný. - Macmillan Co., New York, 1914. - str. 165. Archivováno 22. března 2015 na Wayback Machine , na Google books Archivováno 3. ledna 2016 na Wayback Machine
  5. ↑ 1 2 Chytrá, nebeská mechanika WM. - Longmans, Green and Co., Londýn, 1953. - S. 26.
  6. ↑ Brouwer, Dirk; Clemence, Gerald M. Metody nebeské mechaniky. - Academic Press, New York a Londýn, 1961. - S. 60.
  7. ↑ Vallado, David A. (2001). p. 80
  8. ↑ 1 2 Brouwer, Dirk; Clemence, Gerald M. (1961). p. 77.
  9. ↑ Brouwer, Dirk; Clemence, Gerald M. (1961). p. 62.
  10. ↑ Brouwer, Dirk; Clemence, Gerald M. (1961). p. 68.
  11. ↑ Smart, W. M. (1953). p. 32.
  12. ↑ 1 2 Moulton, Forest Ray (1914). str. 171-172.
  13. ↑ Danby, JMA Základy nebeské mechaniky. - Willmann-Bell, Inc., Richmond, VA, 1988. - S. 199-200. — ISBN 0-943396-20-4 .
  14. ↑ Plummer, HC Úvodní pojednání o dynamické astronomii . - Cambridge University Press , 1918. - S. 46-47.  
  15. ↑ Vysvětlující příloha k Astronomickému almanachu  / Seidelmann, P. Kenneth; Urban, Sean E.. - 3. - University Science Books, Mill Valley, CA, 2013. - S. 338. - ISBN 978-1-891389-85-6 .