Blochovy rovnice

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 13. ledna 2017; kontroly vyžadují 5 úprav .

Makroskopické rovnice použité pro výpočet jaderné magnetizace M = ( M x , M y , Mz ) jako funkce času s relaxačními časy T 1 a T 2 . Jsou široce používány v takových odvětvích fyziky, jako je NMR , MRI a EPR . Pojmenované po nositeli Nobelovy ceny za fyziku Felixovi Blochovi , který je poprvé představil v roce 1946 [1] . V literatuře jsou někdy označovány jako pohybové rovnice jaderné magnetizace.

Rovnice v laboratorní (stacionární) soustavě souřadnic

Nechť M ( t ) = ( M x ( t ), M y ( t ), M z ( t )) je jaderná magnetizace. Pak mají Blochovy rovnice následující tvar:

{\frac {dM_{x}(t)}{dt))=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{x}-{\frac {M_{x}(t)}{T_{2}}}

{\frac {dM_{y}(t)}{dt))=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{y}-{\frac {M_{y}(t)}{T_{2}}}

{\frac {dM_{z}(t)}{dt))=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{z}-{\frac {M_{z}(t)-M_{0}}{T_{1}}}

zde γ je gyromagnetický poměr a B ( t ) = ( B x ( t ), B y ( t ), B 0 + Δ B z ( t )) je síla magnetického pole na jádře. Z-složka vektoru B je součtem konstanty ( B 0 ) a časově proměnné Δ B z (t), používané zejména pro prostorové rozlišení NMR signálu. × je znaménko křížového součinu vektorů. M 0 - stacionární hodnota jaderné magnetizace (například při t → ∞) podél vnějšího aplikovaného pole.

Fyzické odůvodnění

Blochovy rovnice jsou fenomenologické . V nepřítomnosti relaxace (to znamená v T 1 a T 2 → ∞) jsou Blochovy rovnice zjednodušeny na:

{\displaystyle {\frac {dM_{x}(t)}{dt))=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{x))

{\displaystyle {\frac {dM_{y}(t)}{dt))=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{y))

{\displaystyle {\frac {dM_{z}(t)}{dt))=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{z))

nebo ve vektorové notaci:

{\frac {d\mathbf {M} (t)}{dt))=\gamma \mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t)

Toto je rovnice pro Larmorovu precesi jaderné magnetizace M kolem externě aplikovaného pole B.

členové

\left(-{\frac {M_{x}}{T_{2}}},-{\frac {M_{y}}{T_{2}}},-{\frac {M_{z }-M_{0}}{T_{1}}}\right)

odpovídají procesu podélné a příčné relaxace jaderné magnetizace M .

Blochovy rovnice jsou makroskopické : jedná se o pohybové rovnice pro makroskopickou jadernou magnetizaci, kterou lze získat sečtením jednotlivých jaderných magnetických momentů vzorku. Nejsou vhodné pro popis chování každého magnetického momentu.

Alternativní tvar Blochových rovnic

Po otevření závorek křížového produktu a zavedení M xy , B xy podle

M_{xy}=M_{x}+iM_{y}{\text{ a }}B_{xy}=B_{x}+iB_{y}

, dostaneme

{\frac {dM_{xy}(t)}{dt))=-i\gamma \left(M_{xy}(t)B_{z}(t)-M_{z}(t)B_ {xy}(t)\right)-{\frac {M_{xy}}{T_{2}}}

{\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=i\gamma \left(M_{xy}(t){\overline {B_{xy}(t)))-{\overline {M_{xy}}}(t)B_{xy}(t)\vpravo)-{\frac {M_{z}-M_{0}}{T_{1}}}

Zde i = √(-1) a : . ${\overline {M_{xy}}}=M_{x}-iM_{y}$

Reálné a imaginární části M xy odpovídají M x a M y . M xy se také někdy označuje jako příčná jaderná magnetizace .

Blochovy rovnice v rotujícím souřadnicovém systému

Při absenci relaxace ( T 1 a T 2 → ∞) a konstantního vnějšího pole nasměrovaného podél osy z ( B ( t ) = (0, 0, B 0 ) jsou řešení Blochových rovnic

{\displaystyle M_{xy}(t)=M_{xy}(0)e^{-i\gamma B_{0}t))

M_{z}(t)=M_{0}={\text{const))

Příčná magnetizace M xy se tedy otáčí kolem osy z s úhlovou frekvencí ω 0 = γ B 0 proti směru hodinových ručiček. Podélná magnetizace Mz zůstává v čase konstantní. Přejdeme -li na souřadnicovou soustavu rotující s frekvencí Ω (jejíž volba může být určena např. frekvencí vnějšího proměnného pole ΔВ ), pak řešení v ní bude reprezentováno jako:

M_{z}'(t)=M_{z}(t)

M_{xy}'(t)=e^{+i\Omega t}M_{xy}(t)

Pohybové rovnice příčné magnetizace v rotujícím souřadnicovém systému

Nahrazením výrazu z předchozí části dostaneme:

{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt))={\frac {d\left(M_{xy}(t)e^{+i\Omega t}\right)}{ dt}}=e^{+i\Omega t}{\frac {dM_{xy}(t)}{dt}}+i\Omega e^{+i\Omega t}M_{xy}=e^{ +i\Omega t}{\frac {dM_{xy}(t)}{dt}}+i\Omega M_{xy}'

Blochovy rovnice v rotujícím souřadnicovém systému mají tvar:

{\begin{aligned}{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt))&=e^{+i\Omega t}\left[-i\gamma \left(M_{xy }(t)B_{z}(t)-M_{z}(t)B_{xy}(t)\right)-{\frac {M_{xy}}{T_{2}}}\right]+ i\Omega M_{xy}'=\\&=\left[-i\gamma \left(M_{xy}(t)e^{+i\Omega t}B_{z}(t)-M_{z }(t)B_{xy}(t)e^{+i\Omega t}\right)-{\frac {M_{xy}e^{+i\Omega t}}{T_{2}}}\ vpravo]+i\Omega M_{xy}'=\\&=-i\gamma \left(M_{xy}'(t)B_{z}'(t)-M_{z}'(t)B_{ xy}'(t)\right)+i\Omega M_{xy}'-{\frac {M_{xy}'}{T_{2}}}\end{aligned}}

Vezmeme-li v úvahu dříve přijatou reprezentaci intenzity magnetického pole jako součet konstantních a proměnných složek ( B z ′ ( t ) = B z ( t ) = B 0 + Δ B z ( t )), rovnice nakonec berou formulář:

{\begin{aligned}{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt))&=-i\gamma \left(M_{xy}'(t)(B_{0}+\ Delta B_{z}(t))-M_{z}(t)B_{xy}'(t)\vpravo)+i\Omega M_{xy}'-{\frac {M_{xy}'}{T_ {2}}=\\&=-i\gamma (t)B_{0}M_{xy}'-i\gamma \Delta B_{z}(t)M_{xy}'(t)+i\ gama B_{xy}'(t)M_{z}(t)+i\Omega M_{xy}'-{\frac {M_{xy}'}{T_{2))}\\&=i(\ Omega -\omega _{0})M_{xy}'(t)-i\gamma \Delta B_{z}(t)M_{xy}'(t)+i\gamma B_{xy}'(t) M_{z}(t)-{\frac {M_{xy}'}{T_{2}}}\\\end{aligned}}

Termíny na pravé straně:

i (Ω - ω) M xy ′( t ) - Larmorova rotace v souřadnicové soustavě rotující s úhlovou frekvencí Ω vzhledem k laboratorní. Otočí se na nulu při Ω = ω 0 .
- i γ Δ B z ( t ) M xy ′( t ) určuje vliv nehomogenity magnetického pole podél osy z (závislost na Δ B z ( t )) na příčnou jadernou magnetizaci.
i γ Δ B xy ′ ( t ) M z ( t ) určuje chování příčné magnetizace, když je na jadernou magnetizaci aplikováno střídavé příčné magnetické pole ( Δ B xy ′ ( t ) ). Používá se k popisu účinků pulzní NMR .
- M xy ′( t ) / T 2 popisuje pokles koherence příčné magnetizace s časem.

Jednoduchá řešení Blochových rovnic

Relaxace příčné jaderné magnetizace M xy

Předpokládat:

Vnější magnetické pole je konstantní a působí podél osy z ( B z ′ ( t ) = B z ( t ) = B 0 ). Potom ω 0 = γ Bo , Δ Bz ( t ) = 0 a B xy ' = 0.
Souřadný systém rotuje vzhledem k laboratornímu s frekvencí Ω = ω 0 .

Potom se v rotujícím souřadnicovém systému pohybová rovnice příčné magnetizace M xy '( t ) zjednoduší na:

{\displaystyle {\frac {dM_{xy}'(t)}{dt))=-{\frac {M_{xy}'}{T_{2))))

Řešení této rovnice:

M_{xy}'(t)=M_{xy}'(0)e^{-t/T_{2))

kde M xy '(0) je příčná magnetizace v t = 0. Když se frekvence RCS přesně shoduje s frekvencí Larmor (Ω = ω 0 ), vektor příčné magnetizace je konstantní.

π/2 a π impulsy

Předstírejme, že:

Podélné magnetické pole je konstantní a působí podél osy z. To znamená, že Bz '( t ) = Bz ( t ) = Bo , ωo = yB0 a ABz ( t ) = 0 .
V čase t = 0 je na vzorek aplikováno střídavé příčné magnetické pole o frekvenci ω 0 .
Souřadný systém rotuje vzhledem k laboratornímu s frekvencí Ω = ω 0 .

{\begin{aligned}{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt))=i(\Omega -\omega _{0})M_{xy}'(t)-i\ gama \Delta B_{z}(t)M_{xy}'(t)+i\gamma B_{xy}'(t)M_{z}(t)-{\frac {M_{xy}'}{T_ {2}}}\end{aligned}}

Změnou doby aplikace střídavého pole je možné dosáhnout precese jaderné magnetizace přes úhly π/2 a π. V důsledku toho lze pozorovat například efekt spin echo .

Relaxace podélné jaderné magnetizace M z

Odkazy

↑ F Bloch , Nuclear Induction , Physics Review 70 , 460-473 (1946)

Literatura

Charles Kittel , Úvod do fyziky pevných látek , John Wiley & Sons, 8. vydání (2004), ISBN 978-0-471-41526-8 . Kapitola 13 je o magnetické rezonanci.

Abraham A. Nukleární magnetismus, M.: Izdatelstvo inostr. lit., 1963.
Slikter Ch. Základy teorie magnetické rezonance, M.: Mir, 1981.