Eulerova-Lagrangeova rovnice

Eulerovy-Lagrangeovy rovnice (ve fyzice též Lagrangeovy-Eulerovy rovnice , resp . Lagrangeovy rovnice ) jsou základními vzorci variačního počtu , pomocí kterých se hledají stacionární body a extrémy funkcionálu . Zejména jsou tyto rovnice široce používány v optimalizačních úlohách a spolu s principem stacionarity akce se používají k výpočtu trajektorií v mechanice. V teoretické fyzice obecně se jedná o (klasické) pohybové rovnice v kontextu jejich odvození z výslovně psaného výrazu pro akci ( Lagrangian ).

Použití Euler-Lagrangeových rovnic k nalezení extrému funkcionálu je v jistém smyslu podobné použití věty o diferenciálním počtu, která říká, že pouze v bodě, kde první derivace funkce zmizí, může mít hladká funkce extrém (v případě vektorového argumentu se gradient funkce rovná nule, tj. derivace vzhledem k vektorovému argumentu). Přesněji řečeno, jde o přímé zobecnění odpovídajícího vzorce na případ funkcionálů – funkcí nekonečněrozměrného argumentu.

Rovnice odvodili Leonhard Euler a Joseph-Louis Lagrange v 50. letech 18. století .

Formulace

Nechte funkční

J(f)=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x))\,dx

na prostoru hladkých funkcí , kde označuje první derivaci vzhledem k . $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ $F'$ $F$ $X$

Předpokládejme, že integrand má spojité první parciální derivace . Funkce se nazývá Lagrangeova funkce nebo Lagrangian . $F(x,f(x),f'(x))$ $F$

Pokud funkcionál dosáhne extrému na nějaké funkci , pak pro něj musí být splněna obyčejná diferenciální rovnice $J$ $F$

{\frac {\partial F}{\partial f))-{\frac {d}{dx)){\frac {\partial F}{\partial f'))=0,

která se nazývá Euler-Lagrangeova rovnice .

Příklady

Zvažte standardní příklad: najděte nejkratší cestu mezi dvěma body v rovině. Odpovědí je samozřejmě segment spojující tyto body. Zkusme to získat pomocí Euler-Lagrangeovy rovnice za předpokladu, že existuje nejkratší cesta a je hladká křivka .

Nechť spojované body mají souřadnice a . Pak lze délku cesty spojující tyto body zapsat takto: $(a,c)$ $(b,d)$ $y(x)$

L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}dx.

Eulerova-Lagrangeova rovnice pro tento funkcionál má tvar:

{\frac d{dx}}{\frac {\partial }{\partial y'}}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}} =0,

odkud to dostaneme

{\frac {dy}{dx}}=C\šipka doprava y=Cx+D.

Dostaneme tedy přímku. Vzhledem k tomu, že , , tj. že prochází původními body, dostáváme správnou odpověď: úsečku spojující body. $y(a)=c$ $y(b)=d$

Vícerozměrné variace

Existuje také mnoho vícerozměrných verzí Euler-Lagrangeových rovnic.

Pokud je cesta v -dimenzionálním prostoru, pak to přináší extrém do funkcionálu $q(t)$ $n$

J=\int \limits _{{t1}}^{{t2}}L(t,q(t),q'(t))\,dt

pouze pokud splňuje podmínku

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial q'_{k}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}=0

\forall k=1,2,\tečky n

Ve fyzikálních aplikacích, kdy je Lagrangián (což znamená Lagrangián nějakého fyzikálního systému; to znamená, je-li J akce pro tento systém), jsou tyto rovnice (klasickými) pohybovými rovnicemi takového systému. Toto tvrzení lze přímo zobecnit na případ nekonečně rozměrného q . $L$

Další mnohorozměrné zobecnění je získáno uvažováním funkce proměnných. Pokud je nějaká (v tomto případě n - rozměrná) plocha, pak $n$ $\Omega$

J=\int \limits _{{\Omega }}L(f,x_{1},\tečky ,x_{n},f_{{x_{1}}},\tečky ,f_{{x_{n} }})\,d\Omega ,

kde jsou nezávislé souřadnice, , , $x_{i}=x_{1},x_{2},x_{3},\tečky ,x_{n}$ $f=f(x_{1},x_{2},x_{3},\tečky,x_{n})$ $f_{{x_{i))}\ekviv {\frac {\částečné f}{\částečné x_{i))}$

dodává extrém pouze tehdy, pokud splňuje parciální diferenciální rovnici $F$

{\frac {\partial L}{\partial f}}-\sum _{{i=1}}^{{n}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\částečné L}{\částečné f_{{x_{i))))}=0.

Pokud a je energie funkční, pak se tento problém nazývá „minimalizace povrchu mýdlového filmu“. $n=2$ $L$

Zřejmá kombinace dvou výše popsaných případů se používá k získání pohybových rovnic pro distribuované systémy, jako jsou fyzikální pole, vibrující struny nebo membrány a tak dále.

Konkrétně místo statické rovnice rovnováhy mýdlové fólie, uvedené jako příklad v předchozím odstavci, máme v tomto případě dynamickou pohybovou rovnici takové fólie (pokud se nám ovšem podařilo zpočátku zapsat působení na něj, tj. kinetická a potenciální energie).

Historie

Euler-Lagrangeovu rovnici získali v 50. letech 18. století Euler a Lagrange při řešení izochronního problému. To je problém určení křivky, kterou těžká částice vezme do pevného bodu v pevně stanoveném čase, bez ohledu na počáteční bod.

Lagrange tento problém vyřešil v roce 1755 a poslal řešení Eulerovi. Později vyvinutá Lagrangeova metoda a její aplikace v mechanice vedly k formulaci Lagrangeovy mechaniky . Korespondence vědců vedla k vytvoření variačního počtu (termín navrhl Euler v roce 1766 ).

Důkaz

Odvození jednorozměrné Euler-Lagrangeovy rovnice je jedním z klasických důkazů v matematice. Vychází z hlavního lemmatu variačního počtu .

Chceme najít funkci , která splňuje okrajové podmínky a dodává funkcionálu extrém $F$ $f(a)=c$ $f(b)=d$

J=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x))\,dx.

Předpokládejme, že má spojité první derivace. Postačí i slabší podmínky, ale důkaz pro obecný případ je složitější. $F$

Pokud dává funkcionálu extrém a splňuje okrajové podmínky, pak jakákoli slabá porucha , která zachovává okrajové podmínky, musí zvýšit hodnotu (pokud ji minimalizuje) nebo ji snížit (pokud ji maximalizuje). $F$ $F$ $J$ $F$ $J$ $F$

Dovolit být jakákoli diferencovatelná funkce splňující podmínku . Pojďme definovat $\eta (x)$ $\eta (a)=\eta (b)=0$

J(\varepsilon )=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x)) \,dx.

kde je libovolný parametr. $\varepsilon$

Protože dává extrém pro , pak , to je $F$ $J(0)$ $J'(0)=0$

J'(0)=\int \limits _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\částečné F}{\částečné f))+\eta '(x){\frac {\partial F}{\partial f'}}\right]\,dx=0.

Zjistíme, že integrováním druhého členu po částech

0=\int \limits _{a}^{b}\left[{\frac {\částečné F}{\částečné f))-{\frac {d}{dx)){\frac {\částečné F} {\částečná f'}}\pravá]\eta (x)\,dx+\levá[\eta (x){\frac {\částečná F}{\částečná f'}}\pravá]_{a}^{ b}.

Pomocí okrajových podmínek na , získáme $\eta$

0=\int \limits _{a}^{b}\left[{\frac {\částečné F}{\částečné f))-{\frac {d}{dx)){\frac {\částečné F} {\částečné f'}}\vpravo]\eta (x)\,dx.

Odtud, protože - jakákoli, Euler-Lagrangeova rovnice následuje: $\eta (x)$

{\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}=0.

Pokud nezavedeme okrajové podmínky na , pak jsou také vyžadovány podmínky transverzality: $f(x)$

{\frac {\partial F}{\partial f'}}(a,f(a),f'(a))=0

{\frac {\partial F}{\partial f'}}(b,f(b),f'(b))=0

Zobecnění na případ s vyššími derivacemi

Lagrangian může také záviset na derivátech řádu vyššího než první. $F$

Nechť je funkcionál, jehož extrém se nachází, uveden ve tvaru:

J=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x),f''(x),...,f^{{(n)}}( x))\,dx.

Pokud klademe okrajové podmínky na a na jeho derivace až do řádu včetně a také předpokládáme, že má spojité parciální derivace řádu [1] , pak několikanásobným použitím integrace po částech můžeme odvodit analog Eulerova -Lagrangeova rovnice i pro tento případ: $F$ $n-1$ $F$ $2n$

{\frac {\partial F}{\partial f))-{\frac {d}{dx)){\frac {\partial F}{\partial f'))+{\frac {d^{2} }{dx^{2))}{\frac {\partial F}{\partial f''}}-\cdots +(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{dx^ {n}}}{\frac {\částečné F}{\částečné f^{{(n))))))=0.

Tato rovnice je často označována jako Euler-Poissonova rovnice .

Dva Lagrangiany lišící se celkovou derivací dají stejné diferenciální rovnice, ale maximální pořadí derivací v těchto Lagrangiánech se může lišit. Například . Chcete-li získat diferenciální rovnici pro extrém, stačí použít „obyčejnou“ Euler-Lagrangeovu rovnici na , a pro , protože závisí na druhé derivaci, musíte použít Euler-Poissonovu rovnici s odpovídajícím členem: $L_{1}=(f^{\prime }(x))^{2}~,~L_{2}=-f(x)f^{{\prime \prime }}(x)~,~L_ {1}-L_{2}={\frac {d}{dx}}(f(x)f^{\prime }(x))$ $L_{1}$ $L_{2}$

{\frac {\partial L_{1}}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L_{1}}{\partial f'}}=-2f^ {{\prime \prime ))(x),

{\frac {\partial L_{2}}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L_{2}}{\partial f'}}+{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}{\frac {\partial L_{2}}{\partial f^({\prime \prime }}}}=-2f^{{\prime \ prvočíslo}}(x),

a v obou případech bude získána stejná diferenciální rovnice . $-2f^{{\prime \prime }}(x)=0$

Poznámky

↑ A. M. Denisov, A. V. Razgulin. Obyčejné diferenciální rovnice (ruské) ? . Získáno 11. června 2021. Archivováno z originálu dne 11. června 2021. (neurčitý)

Literatura

Alekseev V. M., Tikhomirov V. M., Fomin S. V. Optimální kontrola. — M.: Nauka, 1979
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderní geometrie: Metody a aplikace. — M.: Nauka, 1979
Elsgolovy LE diferenciální rovnice a variační počet. — M.: Nauka, 1969.
Zelikin M. I. Homogenní prostory a Riccatiho rovnice ve variačním počtu, - Factorial, Moskva, 1998.
Zelikin M. I. Optimální řízení a variační počet, - URSS, Moskva, 2004.

Odkazy

Weisstein, Eric W. Euler-Lagrange (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Variační počet (anglicky) na webu PlanetMath .
Shrnutí s některými historickými informacemi
Příklady - úlohy z variačního počtu.