Pohybová rovnice

Pohybová rovnice ( rovnice pohybu ) je rovnice nebo soustava rovnic , která stanovuje zákon vývoje mechanického nebo dynamického systému (například pole ) v čase a prostoru [1] .

Vývoj fyzikálního systému je jednoznačně určen pohybovými rovnicemi a počátečními podmínkami .

Úvod

Pohybová rovnice dynamického systému zahrnuje kompletní soubor proměnných, které určují stav tohoto systému (například všechny souřadnice a rychlosti, nebo všechny souřadnice a momenty), a také jejich časové derivace, což umožňuje znát např. nastavit v určitém časovém okamžiku, aby se vypočítal pro časový okamžik oddělený malým (nekonečně malým) časovým intervalem. V zásadě platí, že opakovaným velkým (nekonečným) počtem za sebou tohoto výpočtu je možné vypočítat hodnotu všech těchto proměnných pro časový okamžik libovolně daleko [2] od počáteční. Pomocí takového procesu je možné (volbou dostatečně malého, ale konečného) získat přibližné numerické řešení pohybových rovnic. K získání přesného [3] řešení je však nutné použít jiné matematické metody. $\Delta t$

V moderní kvantové teorii se termín pohybová rovnice často používá k označení pouze klasických pohybových rovnic, tedy jen k rozlišení mezi klasickým a kvantovým případem. V tomto použití například slova „řešení pohybových rovnic“ znamenají právě klasickou (nekvantovou) aproximaci, kterou lze pak tak či onak použít při získávání kvantového výsledku nebo pro srovnání s ním. V tomto smyslu se evoluční rovnice vlnové funkce neoznačují jako pohybové rovnice, např. Schrödingerova rovnice a níže zmíněná Diracova rovnice nelze nazvat pohybovou rovnicí elektronu. Jistou jasnost zde vnáší dodatek, který označuje pohybovou rovnici, o níž mluvíme: takže i když Diracovu rovnici nelze nazvat pohybovou rovnicí elektronu, může, a to i ve smyslu, o kterém se hovoří v tomto odstavci , být nazýván klasickou pohybovou rovnicí spinorového pole.

Příklady

Jednoduchý mechanický příklad

Uvažujme v rámci newtonovské mechaniky bodovou částici schopnou pohybu pouze po jedné přímce (například kulička klouzající po hladkém paprsku). Polohu částice na přímce popíšeme jediným číslem - souřadnicí - x . Nechť na tuto částici působí (např. nějaká pružina) silou f , v závislosti na poloze částice podle Hookova zákona, tedy volbou vhodného vztažného bodu x můžeme psát f = - kx . V tomto případě, vezmeme-li v úvahu druhý Newtonův zákon a kinematické vztahy, označující rychlost jako v , budeme mít pro náš systém následující pohybové rovnice:

dv/dt=-(k/m)x

dx/dt=v

nebo, vyjma v ze systému:

d^{2}x/dt^{2}=-(k/m)x

Dosazení počáteční souřadnice a rychlosti do správných částí těchto rovnic a nahrazení nekonečně malého d t malým, ale konečným , a přepsání rovnic přibližně v souladu s tím v prvním tvaru - ve tvaru hodnota ( ) = hodnota (t) + derivace , dostaneme: $\delta t$ $t+\delta t$ $\delta t$

v(t+\delta t)=v(t)-(k/m)x(t)\delta t

x(t+\delta t)=x(t)+v(t)\delta t

a přechodem z předchozího okamžiku do dalšího (pokaždé, když se čas zvýší o ), můžeme získat numerické řešení těchto pohybových rovnic ve formě tabulky , která přibližně představuje závislost x(t) a v( t) včas (s krokem ). Je vidět, že if bylo zvoleno dostatečně malé, aby x(t) a v(t) byly velmi blízké funkci . $\delta t$ ${x(0),v(0);x(\delta t),v(\delta t);x(2\delta t),v(2\delta t);\tečky ;x(n\delta t ),v(n\delta t);}$ $\delta t$ $\delta t$ $const\cdot \cos({\sqrt {k/m}}\cdot t+const')$

Pomocí tohoto přibližného řešení nebo některých dalších úvah jako odhadu můžeme, pokud již tušíme, jaké by řešení mělo být, jednoduše nahradit

x=A\cos(\omega t+\phi )

kde jsou jednoduše konstanty, do přesných pohybových rovnic, přičemž se vezmou potřebné časové derivace tohoto výrazu. Zároveň se můžeme ujistit, že není obtížné vybrat konkrétní hodnoty pro rovnost, která má být při této substituci splněna, a také najít hodnoty potřebné k tomu (ukazuje se, že a může být libovolné, ale . Získali jsme tak přesné řešení pohybových rovnic a dokonce i obecné přesné řešení (tedy vhodné pro jakékoli počáteční podmínky, což je dobře vidět). $A,\omega,\phi$ $A,\omega,\phi$ $A,\omega,\phi$ $A$ $\phi$ $\omega ={\sqrt {k/m))$

Nyní, když máme toto obecné přesné řešení, můžeme si z množiny obecných řešení (s různými a ) vybrat konkrétní řešení, které vyhovuje konkrétním počátečním podmínkám. Takto řešíme úlohu pro danou pohybovou rovnici a počáteční podmínky. $A$ $\phi$

To ilustruje pojem pohybové rovnice (pohybové rovnice) a jejich řešení na konkrétním jednoduchém příkladu.

Příklady pohybových rovnic v různých oblastech fyziky

V klasické mechanice Newtonovy zákony (kromě vlastních Newtonových zákonů - jmenovitě druhého - pohybové rovnice newtonské mechaniky zahrnují kinematické rovnice a specifické zákony sil, jako je např . zákon univerzální gravitace nebo Hookeův zákon ). Euler-Lagrangeovy rovnice Hamiltonovy rovnice
V klasické statistické mechanice: Liouvilleova rovnice Bogoljubovova rovnice Boltzmannova rovnice Vlasovova rovnice
V klasické teorii pole: Maxwellovy rovnice (lze je psát a používat v různých formách). Pohybová rovnice spojitého prostředí
V kvantové mechanice (viz poznámka v hlavním článku o možných omezeních použitelnosti pojmu pohybová rovnice v této oblasti) Schrödingerova rovnice Heisenbergova rovnice Lindbladova rovnice Von Neumannova rovnice Diracova rovnice

Poznámky

↑ Když lidé mluví o pohybových rovnicích v selském smyslu, myslí tím diferenciální nebo integro-diferenciální rovnice (ačkoli některé jiné typy rovnic, jako jsou diferenční rovnice pro diskrétní systémy, mohou být poměrně blízkou analogií).
↑ Slova „ v principu ... pokud chcete “ znamenají, že to obecně platí pouze pro matematický model (který popisuje fyzikální realitu vždy jen s nějakou chybou), přičemž s naprosto přesně danými výchozími daty; ve skutečnosti je správnost předpovědi stavu soustavy pomocí pohybových rovnic na dlouhou dobu dopředu určována chybami v zápisu rovnic samotných (ve srovnání s realitou, kterou popisují), chybou v nastavení výchozích dat, chybami v zapisování rovnic, chybami v zapisování. a stabilita řešení tohoto konkrétního typu rovnic; nicméně v řadě případů (i když ne ve všech) v praxi je předpověď pomocí pohybových rovnic v dostatečně velkých časových intervalech velmi přesná (jako např. v nebeské mechanice) nebo alespoň uspokojivá.
↑ Přesné řešení samozřejmě znamená „přesně v rámci matematického modelu“, tedy bez uvážení chyby v psaní rovnic samotných; mohlo by se zdát, že se není třeba obávat přesného řešení, protože rovnice samy o sobě zcela přesně neodrážejí fyzikální realitu, nemluvě však o tom, že často je chyba modelu poměrně malá a řešení, která jsou přesné v matematickém smyslu jsou pak docela přesné ve fyzikálním, přesná řešení mají obvykle ještě jednu výhodu: jsou psána ve formě vzorců ve formě, která umožňuje mnohem pohodlnější použití v dalších výpočtech a analýzách, což je důležité pro praktické i teoretické pochopení, protože jedno přesné řešení s několika parametry je záznamem nekonečné rodiny singulárních řešení.

Odkazy

Aplet pohybových rovnic

mechanický pohyb
referenční systém	inerciální vztažná soustava Neinerciální vztažná soustava Složený pohyb Princip relativity
Materiální bod	Jednotný pohyb Přímočarý pohyb Pohybová rovnice Pohybové rovnice v neinerciální vztažné soustavě Trajektorie (cesta) pohybující se Rychlost Zrychlení ( centripetální zrychlení tečné zrychlení ) pomlčka
Fyzické tělo	translační pohyb Rovinně-paralelní pohyb ( paralelní překlad ) Kulový pohyb ( Rotační pohyb Kruhový pohyb Precese nutace )
kontinuum	laminární proudění turbulentní proudění
Související pojmy	Plán rychlosti Trakce vlaku Šest stupňů volnosti