Runge fenomén

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 10. prosince 2017; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Fenomén (fenomén) Runge - v numerické analýze účinek nežádoucích oscilací, ke kterým dochází při interpolaci pomocí polynomů vysokého stupně . Objevil ji Carl Runge při studiu chyb polynomiální interpolace pro aproximaci určitých funkcí [1] .

Uvažujme funkci .Pokud ji interpolujeme ekvidistantními uzly mezi −5 a 5. polynomem se stupněm menším nebo rovným , pak bude výsledný interpolant oscilovat blíže ke koncům intervalu. Jak se stupeň polynomu zvyšuje, chyba interpolace má tendenci k nekonečnu: $f(x)={\frac {1}{1+x^{2))}.$ $x_{i}$ $x_{i}=-5+(i-1){\frac {10}{n)),\quad i\in \left\{1,2,\tečky ,n+1\right\}$ $P_n(x)$ $n$ $\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\max _{-5\leq x\leq 5}|f(x)-P_{n}(x)|\right)=\infty .$

Takový vliv růstu odchylky s růstem stupně polynomu závisí jak na zvolené posloupnosti uzlů, tak na interpolované funkci. Totiž pro libovolnou posloupnost uzlů lze zvolit takovou spojitou funkci, že chyba její interpolace přes tyto konkrétní uzly bude donekonečna narůstat. Na druhé straně, podle Weierstrassovy věty o aproximaci , pro jakoukoli spojitou funkci na intervalu lze zvolit posloupnost polynomů, které k této funkci na intervalu rovnoměrně konvergují . To teoreticky umožňuje zachytit (pro tuto konkrétní funkci) sekvenci uzlů bez jevu Runge.

Čebyševovy uzly lze považovat za kompromis , chyba interpolace nad nimi klesá rovnoměrně pro jakoukoli absolutně spojitou funkci.

Poznámky

↑ Runge, Carl . Über empirische Funktionen und die Interpolation zwischen äquidistanten Ordinaten (německy) // Zeitschrift für Mathematik und Physik. - 1901. - Bd. 46 . - S. 224-243 .