Breit-Wignerův vzorec

Breit-Wignerův vzorec nebo relativistické Breit-Wignerovo rozdělení je vzorec, který popisuje spojité rozdělení pravděpodobnosti pomocí hustoty pravděpodobnosti uvedené ve tvaru

f(E)={\frac {k}{\left(E^{2}-M^{2}\right)^{2}+M^{2}\Gamma ^{2))} ~,

kde K je konstanta úměrnosti rovna a Rovnice je zapsána pomocí přirozených jednotek , kde ħ = c = 1. Pojmenována po Gregory Breitovi a Eugene Wignerovi , kteří ji získali v roce 1936 pro jadernou rezonanci [1] . $k={\frac {2{\sqrt {2}}M\Gamma \gamma }{\pi {\sqrt {M^{2}+\gamma ))))$ $\gamma ={\sqrt {M^{2}\left(M^{2}+\Gamma ^{2}\right))).$

Vzorec se často používá k modelování rezonancí (nestabilních částic) ve fyzice vysokých energií. V tomto případě E je energie v systému těžiště, která způsobuje rezonanci, M je hmotnost rezonance a Γ je šířka rezonance ( rozpadová šířka ) vztažená k její průměrné době života podle vzorce τ = 1 / Γ, (v jednotkách Vzorec SI bude zapsán jako τ = ħ / Γ). Pravděpodobnost výskytu rezonance při dané energii E je úměrná f ( E ), takže graf rychlosti výskytu nestabilních částic versus energie má podobu relativistického Breit-Wignerova rozdělení. Všimněte si, že pro hodnoty E takové, že | E 2 - M 2 | = MΓ , (odtud | E - M | = Γ / 2 pro M >> Γ ), hodnota f klesne na dvojnásobek své maximální hodnoty, což ospravedlňuje název Г width na polovinu maxima .

V limitu mizející šířky Γ → 0 se částice ustálí, protože Lorentzova distribuce je nekonečně ostrá 2 M δ( E 2 — M 2 ).

Obecně Γ může být také funkcí E ; tato závislost je zpravidla důležitá pouze tehdy, když Γ není malé ve srovnání s M a je nutné vzít v úvahu závislost šířky na objemu fázového prostoru . Například při rozpadu rho-mezonu na pár pionů . Když je rezonance široká, faktor M 2 , který přichází před G 2 , by se měl také změnit na E 2 (nebo E 4 / M 2 atd.) [2] .

Forma relativistického Breit-Wignerova rozdělení vzniká propagátorem nestabilní částice, která má jmenovatele tvaru p 2 - M 2 + i MΓ . Zde je p 2 druhou mocninou čtyřhybnosti částice . Potom je propagátor v klidovém rámci úměrný kvantově mechanické amplitudě rozpadu použitého k rekonstrukci rezonance [3]

{\frac {\sqrt {k}}{\left(E^{2}-M^{2}\right)+iM\Gamma }}.

Výsledné rozdělení pravděpodobnosti je úměrné druhé mocnině modulu amplitudy, stejně jako v relativistickém Breit-Wignerově rozdělení pro funkci hustoty pravděpodobnosti.

Tvar tohoto rozdělení je podobný řešení klasické pohybové rovnice pro tlumený oscilátor s vnější sinusovou silou. Má standardní formu Lorentzovy rezonance nebo Cauchyho rozdělení , ale zahrnuje relativistické proměnné S = p 2 , zde = E 2 .

Rozdělení je řešením diferenciální rovnice analogické klasickým nuceným oscilacím kyvadla s časově zprůměrovaným příkonem

\left\{{\begin{array}{l}f'({\text{E)))\left(\left({\text{E))^{2}-M^{2} \right)^{2}+\Gamma ^{2}M^{2}\right)-4{\text{E}}f({\text{E}})(M-{\text{E} })({\text{E}}+M)=0\\[10pt]f(M)={\frac {k}{\Gamma ^{2}M^{2}}}\end{array} }\že jo\}

Poznámky

↑ Breit G. a Wigner E. Zachycení pomalých neutronů // Physical Review : journal . - 1936. - Sv. 49 , č. 7 . — S. 519 . - doi : 10.1103/PhysRev.49.519 .
↑ Bohm A., Sato Y. Relativistické rezonance: Jejich hmotnosti, šířky, životnosti, superpozice a kauzální evoluce // Physical Review D : journal . - 2005. - Sv. 71 , č. 8 . - doi : 10.1103/PhysRevD.71.085018 .
↑ Brown, L. S. (1994). Quantum Field Theory , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46946-3 , kapitola 6.3.