Formule Ito

Itôův vzorec je změnou proměnného vzorce ve stochastické diferenciální rovnici . Autorem vzorce je Ito Kiyoshi , japonský matematik a statistik .

Definice

Daný náhodný proces definovaný na filtrovaném pravděpodobnostním prostoru s tokem . $X=(X_{t})_{t\geqslant 0}$ ${\displaystyle {\big (}\Omega ,{\mathfrak {F)),({\mathfrak {F))_{t})_{t\geqslant 0},P{\big )))$ $({\mathfrak {F}}_{t})_{t\geqslant 0}$

Nechť je dána stochastická diferenciální rovnice nebo v integrálním tvaru ${\displaystyle dX_{t}=a(t,\omega )\,dt+b(t,\omega )\,dB_{t))$

X_{t}=X_{0}+\int \limits _{0}^{t}a(s,\omega )\,ds+\int \limits _{0}^{t}b(s ,\omega )\,dB_{s},

kde je Brownův pohyb. $B=(B_{t},{\mathfrak {F}}_{t})_{t\geqslant 0}$

Nechť je nyní funkce definovaná na spojité funkci z třídy , tedy mající derivace $F(t,x)$ $\mathbb{R} _{+}\times \mathbb{R}$ $C^{{1,2}}$ ${\frac {\partial F}{\partial t)),\ {\frac {\partial F}{\partial x)),\ {\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}.$

Za těchto předpokladů,

dF(t,X_{t})=\left[{\frac {\částečné F}{\částečné t))+a(t,\omega ){\frac {\částečné F}{\částečné x ))+{\frac {1}{2}}b^{2}(t,\omega ){\frac {\částečné ^{2}F}{\částečné x^{2}}}\right]\ ,dt+{\frac {\částečné F}{\částečné x}}b(t,\omega )\,dB_{t}.

Přesněji řečeno, pro každý platí následující vzorec Itô : $t>0$ $F(t,X_{t})$

F(t,X_{t})=F(0,X_{0})+\int \limits _{0}^{t}\left[{\frac {\partial F}{\partial t }}+a(s,\omega ){\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}b^{2}(s,\omega ){\frac { \partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}\right]\,ds+\int \limits _{0}^{t}{\frac {\partial F}{\partial x}} b(s,\omega )\,dB_{s}.

Vícerozměrné zobecnění

Viz také

Odkazy

Stochastický svět – jednoduchý úvod do stochastických diferenciálních rovnic