Formule Cardano

Cardanoův vzorec je vzorec pro nalezení kořenů kanonické formy kubické rovnice

y^{3}+py+q=0

nad oborem komplexních čísel . Je pojmenován podle italského matematika Gerolama Cardana , který jej vydal v roce 1545 [1] . V roce 1545 Niccolo Tartaglia obvinil Cardana z plagiátorství: ten v pojednání Ars Magna odhalil algoritmus pro řešení kubických rovnic, který mu Tartaglia v roce 1539 svěřil pod příslibem nezveřejňovat. Přestože Cardano algoritmus nepřipisoval sobě a v knize upřímně uvedl, že jeho autory byli Scipio del Ferro a Tartaglia, algoritmus je nyní znám pod nezaslouženým názvem „Cardanoův vzorec“ [2] .

Libovolná kubická rovnice obecného tvaru

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0

změnou proměnné

x=y-{\frac {b}{3a}}

lze pomocí koeficientů redukovat na výše uvedenou kanonickou formu

p={\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2} }},

q={\frac {2b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {d}{a}}={\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}.

Vzorec

Definujme hodnotu [3] :

$Q=\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}+\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}.$

Pokud jsou všechny koeficienty kubické rovnice reálné , pak Q je také reálné a jeho znaménko lze použít k určení typu kořenů [3] :

Q > 0 — jeden skutečný kořen a dva sdružené komplexní kořeny.
Q = 0 je jeden jediný skutečný kořen a jeden dvojitý skutečný kořen, nebo, pokud p = q = 0, pak jeden trojitý skutečný kořen.
Q < 0 jsou tři skutečné kořeny. Jedná se o tzv. „ neredukovatelný “ případ a právě při analýze této situace historicky poprvé vznikl pojem komplexního čísla, protože skutečný výsledek získáme vzorcem využívajícím komplexní čísla [3] .

Podle Cardanova vzorce jsou kořeny kubické rovnice v kanonickém tvaru:

$y_{1}=\alpha +\beta ,$

$y_{{2,3}}=-{\frac {\alpha +\beta }{2}}\pm i{\frac {\alpha -\beta }{2}}{\sqrt {3}},$

kde

\alpha ={\sqrt[ {3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {Q}}}},

\beta ={\sqrt[ {3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {Q}}}},

V tomto případě je diskriminant polynomu roven . $y^{3}+py+q$ $\Delta=-108Q$

Při použití těchto vzorců je pro každou ze tří hodnot nutné vzít jednu, pro kterou je podmínka splněna (taková hodnota vždy existuje). $\alpha$ $\beta$ $\alpha \beta=-p/3$ $\beta$

Pokud je kubická rovnice skutečná, pak se doporučuje zvolit skutečné hodnoty, kdykoli je to možné . $\alpha ,\beta$

Závěr

Rovnici znázorníme ve tvaru

\prod _{{i=1}}^{3}(y-y_{i})=0\qquad (1)

kde jsou kořeny rovnice. Pak $y_{i}$

\prod _{{i=1}}^{3}(y_{i})=-q.\qquad (2)

Přijměme:

\ -q=\alpha ^{3}+\beta ^{3}\qquad (3)

Pak řešením rovnice (3) dostaneme

\ -q=(\alpha +\beta )(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\alpha \beta )\qquad (4)

Jedním z kořenů bude . Když to dosadíme do původní rovnice, dostaneme: $\ y=\alfa +\beta$

\alpha ^{3}+\beta ^{3}+(3\alpha \beta +p)(\alpha +\beta )+q=0

Dosazením q z (3) dojdeme k systému:

\left\{{\begin{matrix}(3\alpha \beta +p)(\alpha +\beta )=0\\\alpha ^{3}+\beta ^{3}=-q\end{matice }}\že jo.

S vědomím, že v obecném případě se součet nerovná nule, získáme systém

\alpha +\beta

\left\{{\begin{matrix}(3\alpha \beta +p)=0\\\alpha ^{3}+\beta ^{3}=-q\end{matrix}}\vpravo.

který je ekvivalentní systému

\left\{{\begin{matrix}\alpha ^{3}\beta ^{3}=-{p^{3} \přes 27}=m\\\alpha ^{3}+\beta ^{3 }=-q=-n\end{matice}}\vpravo.

Posledně jmenovaný je Vietův vzorec pro dva kořeny a kvadratickou rovnici: $\alpha ^{3}$ $\beta ^{3}$

\z^{2}+nz+m=0

Zbývající dva kořeny se najdou rozkladem polynomu

\ \alpha ^{2}+\beta ^{2}-\alpha \beta

Viz také

Literatura

Gusak A. A., Gusak G. M., Brichikova E. A. Příručka vyšší matematiky ve dvou svazcích. - Minsk: Tetrasystems, 1999. - 640 s. — ISBN 985-6317-51-7 .
Korn G., Korn T. Příručka matematiky (pro výzkumníky a inženýry) . - M .: Nauka, 1973. - 720 s.

Poznámky

↑ Stillwell D. Matematika a její historie . - Moskva-Iževsk: Institut počítačového výzkumu, 2004. - S. 101. - 530 s. Archivováno 21. října 2014 na Wayback Machine Archived copy (odkaz není k dispozici) . Získáno 20. května 2020. Archivováno z originálu dne 21. října 2014. (neurčitý)
↑ Stillwell D. Matematika a její historie. - Moskva-Iževsk: Institut počítačového výzkumu, 2004. - S. 101. - 530 s.
↑ 1 2 3 Příručka vyšší matematiky, 1999 , s. 144.

Formule Cardano

Vzorec

Viz také

Literatura

Poznámky

Odkazy