Základní diskriminant

Fundamentální diskriminant D je celočíselný invariant v teorii integrálních kvadratických forem ve dvou proměnných (binární kvadratické formy). Jestliže je kvadratická forma s celočíselnými koeficienty, pak je diskriminant tvaru Q ( x , y ). ${\displaystyle Q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2))$ $D=b^{2}-4ac$

Existují explicitní podmínky kongruence , které dávají mnoho základních diskriminantů. Konkrétně − D je základním diskriminantem tehdy a jen tehdy, jsou-li splněny následující podmínky

D ≡ 1 (mod 4) a bez čtverců ,
D = 4 m , kde m ≡ 2 nebo 3 (mod 4) a ma je bez čtverce .

Prvních deset pozitivních základních diskriminantů je:

1 , 5 , 8 , 12 , 13 , 17 , 21 , 24 , 28 , 29 , 33 ( OEIS sekvence A003658 ).

Prvních deset negativních základních diskriminantů je:

−3, −4, −7, −8, −11, −15, −19, −20, −23, −24, −31 (sekvence A003657 v OEIS ).

Spojení s odmocninami

Existuje souvislost mezi teorií integrálních binárních kvadratických forem a aritmetikou kvadratických číselných polí . Hlavní vlastností tohoto spojení je, že D 0 je základním diskriminantem právě tehdy, když nebo D 0 je diskriminant kvadratického číselného pole. Pro každý základní diskriminant existuje přesně jedno, až do izomorfismu , kvadratické pole . $D_{0}=1$ $D_{0}\neq 1$

Upozornění : Existuje důvod, proč někteří autoři nepovažují 1 za základní diskriminant - lze si ji představit jako degenerované "kvadratické" pole Q ( racionální čísla ). $D_{0}=1$

Rozklad

Základní diskriminanty lze popsat jejich rozkladem na kladná a záporná prvočísla . Definujme množinu

{\displaystyle S=\{-8,-4,8,-3,5,-7,-11,13,17,-19,\;\ldots \))

kde prvočísla ≡ 1 (mod 4) jsou brána kladná a čísla srovnatelná s 3 záporná. Pak je číslo základním diskriminantem právě tehdy, když je součinem společných členů S. $D_{0}\neq 1$

Poznámky

Literatura

Henri Cohen. Kurz výpočetní algebraické teorie čísel. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1993. - V. 138. - (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 3-540-55640-0 .
Duncan Buell. Binární kvadratické formy: klasická teorie a moderní výpočty . - Springer-Verlag , 1989. - S. 69 . - ISBN 0-387-97037-1 .
Don Zagier. Zetafunktionen und quadratische Körper. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1981. - ISBN 978-3-540-10603-6 .