Inverzní obrazový funktor

Funktor pullback je kovariantní konstrukce svazků . Funktor direct image je primární operací na svazcích s jednoduchou definicí. Reverzní obrázek má jemnější vlastnosti.

Definice

Nechť nám je dán svazek a chceme přejít na používání souvislé mapy . ${\mathcal {G}}$ $Y$ ${\mathcal {G}}$ $X$ $f\dvojtečka X\to Y$

Výsledek budeme označovat jako . Pokusíme-li se napodobit definici přímého obrazu a množiny $f^{-1}{\mathcal {G}}$

f^{-1}{\mathcal {G}}(U)={\mathcal {G}}(f(U)),

pro každou otevřenou sadu v , okamžitě narazíme na problém: nemusí být nutně otevřený. Nejlepší, co můžeme udělat, je aproximovat to otevřenými sadami, a i tak dostaneme předsvazek, nikoli snop. Tudíž definujeme jako svazek spojený s předsvazkem $U$ $X$ $f(U)$ $f^{-1}{\mathcal {G}}$

U\mapsto \varinjlim _{V\supseteq f(U)}{\mathcal {G}}(V).

(Zde je otevřená podmnožina a colimit přebírá všechny otevřené podmnožiny prostoru obsahujícího .) $U$ $X$ $PROTI$ $Y$ $f(U)$

Pokud je například pouze vložení bodu do , pak je v tomto bodě vrstva svazku . $F$ $y$ $Y$ $f^{-1}({\mathcal {F}})$ ${\mathcal {F}}$

Existence restrikčních zobrazení, stejně jako funkcionalita inverzního obrazu, vyplývá z univerzální vlastnosti přímých limit.

Když jsou uvažovány morfismy místně prstencových prostorů , například schémata v algebraické geometrii , často se pracuje se svazky modulů , kde je svazek struktury . Funktor pak není vhodný, protože výsledkem jeho aplikace obecně není svazek -modulů. Aby se to v této situaci napravilo, pro svazek -modulů je jeho inverzní obraz určen pravidlem $f\dvojtečka X\to Y$ ${\mathcal {O}}_{Y}$ ${\mathcal {O}}_{Y}$ $Y$ $f^{-1}$ ${\mathcal {O}}_{X}$ ${\mathcal {O}}_{Y}$ ${\mathcal G}$

f^{*}{\mathcal {G}}:=f^{-1}{\mathcal {G}}\otimes _{f^{-1}{\mathcal {O}}_{Y )){\mathcal {O}}_{X}

Vlastnosti

Ačkoli je obtížnější jej definovat než , jeho vrstvy se počítají jednodušeji: pro bod máme . $f^{-1}$ ${\displaystyle f_{\ast ))$ $x\in X$ ${\displaystyle (f^{-1}{\mathcal {G}})_{x}\cong {\mathcal {G}}_{f(x))))$
$f^{-1}$ je přesný funktor , jak je patrné z výpočtu výše uvedených vrstev.
$f^{*}$ , obecně je přesný pouze vpravo. Je-li přesné, říká se, že f je ploché . $f^{*}$
$f^{-1}$ je ponechán konjugovaný s funktorem direct image , to znamená, že existuje přirozený izomorfismus ${\displaystyle f_{\ast ))$

\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (X)}(f^{-1}{\mathcal {G)),{\mathcal {F)))=\mathrm {Hom} _{ \mathbf {Sh} (Y)} ({\mathcal {G}),f_{*}{\mathcal {F)))

Literatura

Iversen, Birger , Cohomology of sheaves, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1986, ISBN 978-3-540-16389-3 .