Funktor přímého obrazu

Funktor direct image je zobecněním pojmu sekce svazku na relativní pád.

Definice

Nechť f : X → Y je souvislá mapa topologických prostorů a nechť Sh (-) označuje kategorii svazků abelovských grup na topologickém prostoru. Funktor přímého obrazu

f_{*}:Sh(X)\to Sh(Y)

přenese svazek F na X na předsvazek

f_{*}F(U):=F(f^{-1}(U)),

což se ukáže jako snop na Y .

Tato operace je funktoriální v tom smyslu, že morfismus svazku φ: F → G na X generuje morfismus svazku f ∗ (φ): f ∗ ( F ) → f ∗ ( G ) na Y .

Příklad

Je-li Y bod, pak se funktor přímého obrazu shoduje s funktorem globální sekce.

Vyšší přímé obrázky

Funktor direct image je levo-exaktní, ale nepravo-exaktní obecně. Můžeme tedy uvažovat o správných derivačních funktorech funktoru přímého obrázku. Říká se jim vyšší přímé obrazy a značí se R q f ∗ .

Pro vyšší přímé obrázky lze dát výraz podobný výrazu pro přímé obrázky: pro svazek F na X je R q f ∗ ( F ) svazek spojený s předsvazkem.

U\mapsto H^{q}(f^{-1}(U),F).

Vlastnosti

Funktor přímý obrázek je správně konjugován s funktorem inverzní obrázek , to znamená, že pro jakoukoli spojitou mapu a na X , Y existuje přirozený izomorfismus $f:X\to Y$ ${\mathcal {F}},{\mathcal {G}}$

\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (X)}(f^{-1}{\mathcal {G)),{\mathcal {F)))=\mathrm {Hom} _{ \mathbf {Sh} (Y)} ({\mathcal {G}),f_{*}{\mathcal {F)))

Jestliže f je vnořením uzavřeného podprostoru X ⊂ Y , pak f ∗ je přesné. Navíc v tomto případě f ∗ je ekvivalence kategorie mezi svazky na X a svazky na Y podporovanými v X . Vyplývá to ze skutečnosti, že vlákno je rovno jestliže a jinak rovno nule (zde používáme uzavřenost X v Y ). $(f_{*}{\mathcal {F}})_{y}$ ${\mathcal {F}}_{y}$ $y\in X$

Literatura

Iversen, Birger , Cohomology of sheaves, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1986, ISBN 978-3-540-16389-3 .