Funkce Jost

Jostovy funkce (Jost solutions, angl. Jost functions , angl. Jost solutions ) - řešení jednorozměrné Schrödingerovy rovnice pro potenciál klesající do nekonečna.

Matematická definice

Prohlášení o problému

Uvažujeme jednorozměrný Schrödingerův operátor formuláře

H=-{\frac {{\mathrm d}^{2}}{{\mathrm d}x^{2}}}+u(x),\quad x\in {\mathbb R},

kde potenciál je definován na množině reálných čísel jako funkce patřící do třídy lokálně integrovatelných. Odpovídající problém hledání vlastních čísel bude mít tvar [1] $u(x)$ $\lambda =k^{2}$

-\psi (x)''+u(x)\psi (x)=k^{2}\psi (x).

Definice

Položme podmínku na potenciál ve formuláři

\int \limits _{{-\infty }}^{\infty }(1+|x|)|u(x)|{\mathrm d}x<\infty ,

což znamená, že funkce klesá rychleji než 1/x 2 . To znamená, že pro reálné k existují řešení jednorozměrné Schrödingerovy rovnice, která jsou jednoznačně určena asymptotikou v nekonečnu $u(x)$ $|x|\to \infty$

f_{1}(x,k)=e^{{-ikx}}+o(1),\quad x\to -\infty ,

f_{2}(x,k)=e^{{ikx}}+o(1),\quad x\to \infty ,

nazvaná Jost solutions [1] podle švýcarského fyzika Rese Josta . [2] V obecném případě (i pro komplexní k ) lze ukázat, že za výše uvedené podmínky na , existují čtyři řešení jednorozměrné Schrödingerovy rovnice, která splňují integrální rovnice $u(x)$

f_{1}(x,k)=e^{{-ikx}}-\int \limits _{{-\infty }}^{x}{\frac {\sin k(\xi -x)}{ k}}u(\xi )f_{1}(\xi ,k){\mathrm d}\xi,

\overline {f_{1}}(x,k)=e^{{-ikx}}-\int \limits _{{-\infty }}^{x}{\frac {\sin k(\xi - x)}{k}}u(\xi )\overline {f_{1}}(\xi ,k){\mathrm d}\xi ,

f_{2}(x,k)=e^{{ikx}}+\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\sin k(\xi -x)}{k}}u (\xi )f_{2}(\xi ,k){\mathrm d}\xi ,

\overline {f_{2}}(x,k)=e^{{ikx}}+\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\sin k(\xi -x)}{ k}}u(\xi )\overline {f_{2}}(\xi ,k){\mathrm d}\xi ,

kde overbar znamená komplexní konjugaci . Navíc samotné funkce a jejich derivace vzhledem k x jsou spojité vzhledem k k a jsou analytické at a tato řešení jsou jedinečná. [3] Rovnice pro Jostovy funkce lze získat přímo z okrajových podmínek a Schrödingerovy rovnice pomocí Greenovy funkce ve tvaru ${\mathrm I}m\,k\geq 0$ ${\mathrm I}m\,k>0$

G(x,\xi ,k)=\left\lbrace {\begin{array}{ll}{\frac {\sin k(\xi -x)}{k)),&\xi <x\\0 ,&\xi >x\end{array}}\right.,

nebo přímou substitucí. [čtyři]

Použití

Jostovy funkce jsou aplikovány v problémech rozptylu a teorii solitonů . [5] [6]

Poznámky

↑ 1 2 Takhtajian, 2008 , s. 155.
↑ Scheck, 2007 , str. 157.
↑ Dodd a kol., 1988 , str. 125-127.
↑ Novokšenov, 2002 , s. 42-43.
↑ Takhtajian, 2008 , pp. 136-139.
↑ Novokšenov, 2002 , s. 41-46.

Literatura

Dodd, R., Eilbeck, J., Gibbon, J., Morris, X. Solitons a nelineární vlnové rovnice. — M .: Mir, 1988. — 694 s.
Novokšenov, V. Yu Úvod do teorie solitonů. - Iževsk: Ústav počítačového výzkumu, 2002. - 96 s. - ISBN 5-93972-100-1 .
Slavianinov, S. Iu. Asymptotická řešení jednorozměrné Schrödingerovy rovnice. - American Mathematical Soc., 1996. - Sv. 151. - 190 s. — (Překlady matematických monografií, Přednášky z aplikované matematiky). — ISBN 9780821805367 .
Scheck, F. Kvantová fyzika. - Springer, 2007. - 738 s. — ISBN 9783540256458 .
Takhtadzhian, L.A. Kvantová mechanika pro matematiky. - American Mathematical Soc., 2008. - Vol. 95. - 387 s. - (Absolventské studium matematiky). — ISBN 9780821846308 .