Čebyševovy funkce

Čebyševovy funkce [K 1] jsou číselně teoretické funkce spojené s distribucí prvočísel a definované jako $\daň)$ $\psi(x)$

\theta (x)=\součet \limits _{{p\leqslant x}}\ln p

\psi (x)=\sum \limits _{m\in \mathbb {N} }\sum \limits _{p^{m}\leqslant x}\ln p,

kde jsou prvočísla a jsou přirozená čísla. $p$ $m$

Představil ruský matematik Pafnuty Chebyshev .

Vlastnosti

Definici Čebyševovy psi-funkce lze zapsat pomocí Mangoldtovy funkce : . $\psi (x)=\sum \limits _{{n\leqslant x}}\Lambda (n)$
Čebyševovy funkce jsou spojeny relací (kde pouze prvních několik členů je nenulových), což implikuje asymptotický vztah . $\psi (x)=\theta (x)+\theta ({\sqrt {x)))+\theta ({\sqrt[{3}]{x)))+\tečky =\sum _ {n=1}^{\infty }\theta ({\sqrt[{n}]{x)))$ $\psi (x)=\theta (x)+O({\sqrt {x)))$
Potenciace dává: , . $e^{{\psi (x)}}=\jméno operátora {lcm}(1,2,...,[x])$ $e^{{\theta (x)}}=\prod \limits _{{p\leqslant x}}p$

Vztah k rozdělení prvočísel

Čebyševovy funkce souvisí s distribuční funkcí prvočísel : . $\psi (x)\sim \theta (x)\sim \pi (x)\ln x$
Pro Chebyševovu funkci psi existují explicitní vzorce získané analýzou Riemannovy zeta funkce :

\psi (x)=x-\sum \limits _{\rho }{\frac {x^{{\rho }}}{\rho }}-\ln 2\pi -{\frac {1}{2 }}\ln(1-x^{{-2}}),

kde prochází všechny netriviální nuly funkce zeta. $\rho$

De la Vallée-Poussinův teorém o rozdělení prvočísel z hlediska funkce psi je formulován takto:

\psi (x)=x+O(e^{{-c{\sqrt {\ln x)))))

A Riemannova hypotéza je ekvivalentní tvrzení

\psi (x)=x+O({\sqrt {x}}\ln ^{2}x)

Viz také

Bertrandův postulát

Komentáře

↑ Na rozdíl od běžné výslovnosti vědcova starého šlechtického příjmení - Čebyšev [1] [2] [3] - s důrazem na první slabiku ( Chébyšev ), kvůli tendenci charakteristické pro 20. století oddělovat příjmení na -ov / -ev z původních přivlastňovacích adjektiv [2 ] _ _ _ _ _ _ _ _ fixovat pravopis a výslovnost [7][6][5][4]Čebyševa .

Poznámky

↑ Čebyšev Pafnuty Lvovič / B. V. Gnedenko // Čagan - Aix-les-Bains. - M . : Sovětská encyklopedie, 1978. - ( Velká sovětská encyklopedie : [ve 30 svazcích] / šéfredaktor A. M. Prochorov ; 1969-1978, sv. 29). - V názvu článku: " Čebyšev (vyslov Čebyšev ) Pafnuty Lvovich ..."
↑ 1 2 Unbegaun, B. O. Ruská příjmení / přel. z angličtiny. L. V. Kurkina , V. P. Nerozňák , E. R. Squires ; vyd. N. N. Popov . - M .: Progress, 1989. - S. 349. - ISBN 5-01-001045-3 .
↑ Kalitkin, N. N. Numerické metody: učebnice. — 2. vyd., opraveno. - Petrohrad. : BHV-Petersburg, 2011. - S. 33 [ Čebyševův systém funkcí ], 465 [ Čebyševův soubor kroků ], 552 [ Čebyševovo kritérium ], 574 [ Čebyševovy polynomy ] . — (Naučná literatura pro vysoké školy). - ISBN 978-5-9775-0500-0 .
↑ Čebyšev [ Čebyševovy polynomy , Čebyševův vzorec ]; Chebyshevsky // Ruský pravopisný slovník / Ruská akademie věd. Ústav ruského jazyka . V. V. Vinogradova ; vyd. V. V. Lopatina , O. E. Ivanova . - Ed. 4., rev. a doplňkové - M . : AST-PRESS KNIGA, 2013. - S. 819. - (Základní slovníky ruského jazyka). - ISBN 978-5-462-01272-3 .
↑ Ageenko, F. L. Chebyshev Pafnyuty // Vlastní jména v ruštině: slovník přízvuků. - M . : Nakladatelství NTs ENAS, 2001. - S. 349. - ISBN 5-93196-107-0 .
↑ Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics. - M . : Nakladatelství Akademie věd SSSR, 1982. - T. 22, č. 1. - S. 142 [ Čebyšev střed souboru ].
↑ Matematická sbírka. - M .: Nauka, 2004. - T. 195. - S. 29 [ Chebyshev alternance ], 56-57 [ Chebyshev method ].

Literatura

Prahar, K. Rozdělení prvočísel = Primzahl Verteilung / per. s ním. A. A. Karatsupy. - M .: Mir, 1967. - 511 s.