Funkce parabolického válce

Funkce parabolického válce ( Weberovy funkce ) je obecný název pro speciální funkce , které jsou řešením diferenciálních rovnic získaných aplikací metody separace proměnných pro rovnice matematické fyziky , jako je Laplaceova rovnice , Poissonova rovnice , Helmholtzova rovnice atd . souřadnicový systém parabolického válce .

V obecném případě jsou funkce parabolického válce řešením následující rovnice

{\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+\left(az^{2}+bz+c\right)f=0.\quad (1)

Při provádění lineární změny proměnné v této rovnici se získá následující rovnice:

{\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+\left(\nu +{\frac 12}-{\frac {z^{2}}{4}}\right)f =0,

jejichž řešení se nazývají Weberovy funkce a označují se $D_{\nu }(z).$

Funkce jsou řešením Weberovy rovnice a pro necelé číslo jsou funkce lineárně nezávislé. Všechny funkce jsou také lineárně nezávislé. $D_{\nu }(z),D_{\nu }(-z),D_{-\nu -1}(iz),D_{-\nu -1}(-iz)$ $\nu$ $D_{\nu }(z),D_{\nu }(-z)$ $\nu$ $D_{\nu }(z),D_{-\nu -1}(\pm iz)$

V praxi se často používají další funkce parabolického válce - Hermitovy funkce , což jsou řešení Hermitovy rovnice , která se získá z náhrady $(jeden)$ $f(\alpha z+\beta )=e^{-z^{2}}y(z)$

{\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}-2z{\frac {dy}{dz}}+2\nu y=0.\qquad (2)

Hermitovy funkce jsou označeny obecným řešením rovnice $H_{\nu }(z).$ $(2):$

y(z)=c_{1}H_{\nu }(z)+c_{2}\Phi \left(-{\frac {\nu }{2));{\frac {1}{ 2}};z^{2}\right),

kde je degenerovaná hypergeometrická funkce . $\Phi \left(\alpha ;\beta ;z\right)$

Pro nezáporné celé číslo se Hermitova funkce shoduje s Hermitovým polynomem . Pro záporné celé číslo je Hermitova funkce vyjádřena v uzavřené formě pomocí chybové funkce . $\nu$ $\nu$

Rekurentní vztahy a derivační vzorce

Opakující se vztahy

D_{\nu }(z)={\dfrac {\Gamma (\nu +1)}{\sqrt {2\pi }}}\left(e^{{\frac {1}{2} }\nu \pi i}D_{-\nu -1}(iz)+e^{-{\frac {1}{2}}\nu \pi i}D_{-\nu -1}(-iz )\že jo)

D_{\nu }(z)=zD_{\nu -1}(z)-(\nu -1)D_{\nu -2}(z)

H_{\nu }(z)=2zH_{\nu -1}(z)-2(\nu -1)H_{\nu -2}(z)

H_{\nu }(z)={\frac {2z}{2(\nu +1)))H_{\nu +1}(z)-{\frac {1}{2(\nu +1)))H_{\nu +2}(z)

2\nu ~H_{{\nu -1}}(z)+H_{{\nu +1}}(z)=2zH_{\nu }(z)

Diferenciační vzorce

{\frac {d}{dz}}~D_{\nu }(z)=-{\dfrac {1}{2}}zD_{\nu }(z)+\nu D_{{\nu -1} } (z)

{\frac {d}{dz}}~H_{\nu }(z)=2\nu H_{\nu -1}(z)

{\frac {d}{dz}}~H_{\nu }(z)-2zH_{\nu }(z)=-H_{{\nu +1}}(z)

{\frac {d}{dz}}{\Bigl [}e^{{-z^{2}}}~H_{\nu }(z){\Bigr ]}=-e^{{-z^ {2}}}H_{{\nu +1}} (z)

Integrální reprezentace

Asymptotické chování

Na počátku

V nekonečnu

Literatura

Whittaker, Watson. Kurz moderní analýzy, 1963, svazek 2
Bateman, Erdeyi Vyšší transcendentální funkce, svazek 2

HF Weber , "Über die Integration der partiellen Differentialgleichung " Math. Ann. , 1 (1869) str. 1–36

{\frac {\částečné ^{2}u}{\částečné x^{2))}+{\frac {\částečné ^{2}u}{\částečné y^{2))}+k^{2 }u=0

Odkazy

Milton Abramowitz a Irene A. Stegun, eds., Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami 1972, Dover: New York. kapitola 19 .
Weisstein, Eric W. Funkce parabolického válce. Z MathWorld – webový zdroj Wolfram.
Weisstein, Eric W. Diferenciální rovnice parabolického válce. Z MathWorld – webový zdroj Wolfram.