Užitné funkce na nedělitelném zboží

Některá odvětví ekonomie a teorie her se zabývají nedělitelnými statky , jednotlivými objekty, které lze přenášet pouze jako celek. Například v kombinatorických aukcích existuje konečná množina objektů a každý agent může koupit podmnožinu objektů, ale objekt nelze sdílet mezi dvěma (nebo více) agenty.

Obvykle se předpokládá, že jakýkoli agent přiřadí subjektivní užitek každé podmnožině objektů. To lze znázornit dvěma způsoby

Pořadový užitkový poměr , obvykle označovaný jako . Skutečnost, že agent preferuje množinu před množinou , se zapisuje jako . Pokud agent preferuje pouze slabě (tj. buď preferuje, nebo nevidí žádný rozdíl mezi a ), zapíše se to jako . $\succ$ $A$ $B$ $A\succ B$ $A$ $A$ $A$ $B$ $A\succeq B$
Kvantitativní funkce užitku se označuje jako . Pomůcka agenta, kterou obdrží ze sady , je zapsána jako . Kvantitativní funkce užitku je často normalizována, takže , kde je prázdná množina . $u$ $A$ $u(A)$ $u(\emptyset )=0$ $\emptyset$

Z funkce kvantitativního užitku vyplývá preferenční vztah : z vyplývá a z vyplývá . Užitné funkce mohou mít některé vlastnosti [1] . $u(A)>u(B)$ $A\succ B$ $u(A)\geqslant u(B)$ $A\succeq B$

Monotónnost

Monotonie znamená, že agent vždy (slabě) dává přednost dalším objektům. Formálně:

Pro preferenční vztahy: vyplývá z . $A\supseteq B$ $A\succeq B$
Pro funkci užitku: vyplývá z (to znamená, že u je monotónní funkce ). $A\supseteq B$ $u(A)\geqslant u(B)$

Monotónnost je ekvivalentní předpokladu volného vyřazení – pokud agent může vždy odhodit nechtěný objekt, pak další objekty nikdy nesníží užitečnost .

Aditivita

Aditivní užitek

$A$	$u(A)$
$\emptyset$	0
Jablko	5
čepice	7
jablko a klobouk	12

Aditivita (také nazývaná linearita nebo modularita ) znamená, že „celek se rovná součtu jeho částí“. To znamená, že užitečnost množiny objektů se rovná součtu užitků každého objektu zvlášť. Tato vlastnost platí pouze pro kvantitativní funkce užitku. To znamená, že pro jakoukoli sadu objektů, $A$

u(A)=\součet _{x\in A}u({x})

za předpokladu, že . Jinými slovy, je to aditivní funkce . Ekvivalentní definice: pro všechny sady objektů a , $u(\emptyset )=0$ $u$ $A$ $B$

u(A)+u(B)=u(A\pohár B)+u(A\cap B).

Aditivní funkce užitku je charakteristická pro nezávislé statky . Například jablko a klobouk jsou považovány za nezávislé: užitečnost pro osobu přijatou z jablka bude stejná, ať má klobouk nebo ne, a naopak. Typická užitná funkce pro tento případ je uvedena vpravo.

Submodularita a supermodularita

Submodulární nástroj

$A$	$u(A)$
$\emptyset$	0
Jablko	5
chléb	7
jablko a chleba	9

Submodularita znamená, že "celek není nic jiného než součet jeho částí (ale může být i méně)." Formálně pro všechny soubory a , $A$ $B$

u(A)+u(B)\geqslant u(A\pohár B)+u(A\cap B)

Jinými slovy, je submodulární sada funkcí . $u$

Ekvivalentní vlastností je klesající mezní užitek , což znamená, že pro všechny množiny as , a libovolné : [2] $A$ $B$ $A\subseteq B$ $x\notin B$

u(A\cup \{x\})-u(A)\geqslant u(B\cup \{x\})-u(B)

Submodulární užitná funkce je charakteristická pro zastupitelné zboží . Například jablko a krajíc chleba lze považovat za zaměnitelné - užitek, který člověk přijímá snědením jablka, je menší, pokud již jedl chléb (a naopak), protože v tomto případě bude mít menší hlad. Typická užitná funkce pro tento případ je zobrazena vpravo.

supermodulární utilita

$A$	$u(A)$
$\emptyset$	0
Jablko	5
nůž	7
jablko a nůž	patnáct

Supermodularita je opakem submodularity, což znamená, že „celek není menší než součet jeho částí (ale může být více)“. Formálně pro všechny soubory a , $A$ $B$

u(A)+u(B)\leqslant u(A\cup B)+u(A\cap B)

Jinými slovy, jde o supermodulární sadu funkcí . $u$

Ekvivalentní vlastností je rostoucí mezní užitek , což znamená, že pro všechny množiny a s a libovolnými : $A$ $B$ $A\subseteq B$ $x\notin B$

u(B\cup \{x\})-u(B)\geqslant u(A\cup \{x\})-u(A)

Supermodulární užitná funkce je charakteristická pro doplňkové zboží . Například jablko a nůž lze považovat za komplementární - uspokojení, které člověk z jablka dostane, bude větší, pokud navíc dostane i nůž, protože jablko bude snazší sníst odřezáváním kousků. Možná užitečná funkce pro tento případ je zobrazena vpravo.

Užitná funkce je aditivní právě tehdy, když je submodulární i supermodulární.

Subaditivity a superaditivity

Subaditivní, ale ne submodulární

$A$	$u(A)$
$\emptyset$	0
X, Y nebo Z	2
X,Y nebo Y,Z nebo Z,X	3
X,Y,Z	5

Subaditivity znamená, že pro libovolnou dvojici disjunktních množin $A,B$

u(A\cup B)\leqslant u(A)+u(B)

Jinými slovy, je subaditivní množinová funkce . $u$

Za předpokladu, že je nezáporný, je jakákoli submodulární funkce subaditivní. Existují však nezáporné subaditivní funkce, které nejsou submodulární. Představme si například, že existují 3 stejné objekty a , a užitečnost závisí pouze na jejich počtu. Tabulka vpravo popisuje obslužnou funkci , která je subaditivní, ale ne submodulární, protože $u(\emptyset )$ $X,Y$ $Z$

u(\{X,Y\})+u(\{Y,Z\})<u(\{X,Y\}\pohár \{Y,Z\})+u(\{X ,Y\}\cap \{Y,Z\}).

Superaditivní, ale ne supermodulární

$A$	$u(A)$
$\emptyset$	0
X nebo Y nebo Z	jeden
X,Y nebo Y,Z nebo Z,X	3
X,Y,Z	čtyři

Superadditivita znamená, že pro jakýkoli pár disjunktních množin $A,B$

u(A\cup B)\geqslant u(A)+u(B)

Jinými slovy, je superaditivní množinová funkce . $u$

Za předpokladu, že to není kladné, je jakákoli supermodulární funkce superaditivní. Existují však nezáporné superaditivní funkce, které nejsou supermodulární. Předpokládejme například, že existují 3 stejné objekty a Z a užitečnost závisí pouze na jejich počtu. Tabulka vpravo popisuje užitečnou funkci, která je nezáporná a superaditivní, ale není supermodulární, protože $u(\emptyset )$ $X,Y$

u(\{X,Y\})+u(\{Y,Z\})<u(\{X,Y\}\pohár \{Y,Z\})+u(\{X ,Y\}\cap \{Y,Z\}).

Funkce užitku c je aditivní právě tehdy, když je superaditivní i subaditivní. $u(\emptyset )=0$

Za typického předpokladu, že jakákoli submodulární funkce je subaditivní a jakákoli supermodulární funkce je superaditivní. Bez uložení takového omezení na prázdnou množinu nejsou tyto vztahy pravdivé. $u(\emptyset )=0$

Zejména, pokud submodulární funkce není subaditivní, pak musí být záporná. Předpokládejme například, že existují dva objekty , s , a . Tato užitečná funkce je submodulární a supermodulární a nezáporná s výjimkou prázdné množiny, ale není subaditivní, protože $u(\emptyset )$ $X,Y$ $u(\emptyset )=-1$ $u(\{X\})=u(\{Y\})=1$ $u(\{X,Y\})=3$

u(\{X,Y\})>u(\{X\})+u(\{Y\}).

Také, pokud supermodulární funkce není superaditivní, pak musí být kladná. Místo toho si to představme . Tato užitečná funkce je nezáporná, supermodulární a submodulární, ale ne superaditivní $u(\emptyset )$ $u(\emptyset )=u(\{X\})=u(\{Y\})=u(\{X,Y\})=1$

u(\{X,Y\})<u(\{X\})+u(\{Y\}).

Jediný požadavek

jednotková užitkovost

$A$	$u(A)$
$\emptyset$	0
Jablko	5
hruška	7
jablko a hruška	7

Požadavek jednotky (EZ, angl. Unit demand , UD) znamená, že agent chce pouze jeden objekt. Pokud agent obdrží dva nebo více objektů, použije jeden z nich, což dává větší užitek, a druhý objekt je zahozen. Formálně:

Pro vztah preference: pro jakoukoli množinu existuje podmnožina s velikostí , taková, že . $B$ $A\subseteq B$ $|A|=1$ $A\succeq B$
Pro užitečnou funkci: pro jakoukoli sadu : [3] $A$

u(A)=\max _{x\in A}u({x})

Funkce požadavku na jednotku je extrémní verzí submodulární funkce. Funkce je vlastnost dobra, která je zcela zaměnitelná. Pokud například existuje jablko a hruška a agent chce sníst jediné ovoce, pak je tato obslužná funkce jediným požadavkem, jak je znázorněno v tabulce vpravo.

Úplné nahrazení

Hrubé substituty ( GS ) znamenají, že agenti považují předměty za vzájemně zaměnitelné nebo nezávislé statky , ale nikoli za doplňkové statky . Existuje mnoho formálních definic této vlastnosti, z nichž všechny jsou ekvivalentní.

Jakýkoli odhad E3 je PP, ale obráceně to neplatí.
Jakýkoli odhad PP je submodulární, ale obráceně to neplatí.

Podrobnou diskuzi najdete v článku Úplné nahrazení

Mezi třídami tedy existují následující vztahy:

EZ PP Submodular Subadditive

\subsetneq

\subsetneq

\subsetneq

Viz obrázek vpravo.

Agregace užitných funkcí

Funkce utility popisuje individuální preference. Často potřebujeme funkci, která popisuje spokojenost celé komunity. Taková funkce se nazývá funkce veřejného blahobytu a je obvykle souhrnnou funkcí dvou nebo více funkcí užitku. Pokud jsou jednotlivé funkce užitku aditivní , pak pro agregační funkce platí následující:

agregační funkce	Vlastnictví	Příklad hodnot funkcí z {a}, {b} a {a,b }
agregační funkce	Vlastnictví	F	G	h	agregát(f,g,h)
Součet	Přísada	1,3; čtyři	3,1; čtyři		4,4; osm
Průměrný	Přísada	1,3; čtyři	3,1; čtyři		2,2; čtyři
Minimální	superaditivum	1,3; čtyři	3,1; čtyři		1,1; čtyři
Maximum	Subaditivum	1,3; čtyři	3,1; čtyři		3,3; čtyři
Medián	žádná z vlastností	1,3; čtyři	3,1; čtyři	1,1; 2	1,1; čtyři
Medián	žádná z vlastností	1,3; čtyři	3,1; čtyři	3,3; 6	3,3; čtyři

Viz také

Dělitelné dobré užitné funkce

Poznámky

↑ Gul, Stacchetti, 1999 , str. 95–124.
↑ Moulin, 1991 .
↑ Koopmans, Beckmann, 1957 , str. 53–76.

Literatura

Gul F., Stacchetti E. Walrasian Equilibrium with Gross Substitutes // Journal of Economic Theory. - 1999. - T. 87 . - doi : 10.1006/jeth.1999.2531 .
Herve Moulin. Axiomy kooperativního rozhodování. - Cambridge England New York: Cambridge University Press, 1991. - ISBN 9780521424585 .
Koopmans TC, Beckmann M. Problémy s přiřazením a umístění ekonomických aktivit // Econometrica. - 1957. - T. 25 , čís. 1 . - doi : 10.2307/1907742 . — .