Projekce (geometrie)

Projekce ( lat. projectio - „hozená dopředu“) je:

obraz trojrozměrné postavy na tzv. obrazové (projekční) rovině způsobem, který je geometrickou idealizací optických mechanismů vidění , fotografie , camera obscura . Pod pojmem projekce se v této souvislosti rozumí i způsob sestrojení takového obrazu a techniky, na kterých je tato metoda založena. Široce se používá v inženýrské grafice , architektuře , malbě a kartografii . Studium metod pro konstrukci projekcí jako inženýrská disciplína se zabývá deskriptivní geometrií ;
zobecnění projekce v jejím prvním smyslu (přesněji zobecnění její rozmanitosti - paralelní promítání ) pro zobrazení bodů, obrazců, vektorů prostoru libovolné dimenze do jejího podprostoru libovolné dimenze: například kromě promítání bodů trojrozměrného prostoru na rovinu, může dojít k projekci bodů trojrozměrného prostoru na přímku, bodů roviny na přímku, bodů sedmirozměrného prostoru na jeho čtyřrozměrný podprostor atd. , stejně jako projekce vektoru do libovolného podprostoru původního prostoru, zejména do přímky nebo do směru vektoru (definice skalárního součinu v euklidovském jazyce je spojena s druhým prostorem ). Projekce v tomto smyslu nachází široké uplatnění ve vztahu k vektorům (jak v elementárním kontextu, tak v abstraktním kontextu), při použití kartézských souřadnic atd.

Obecná definice

Zobrazení prostoru do sebe samého se nazývá projekce , pokud je toto zobrazení idempotentní , to znamená, že jeho složení samo se sebou je stejné nebo pro všechny . $P\dvojtečka A\to A$ $A$ $P\colon$ $P\circ P=P$ $P(P(a))=P(a)$ $v A$

Projekce z trojrozměrného prostoru do roviny

Projekční metoda zobrazování předmětů je založena na jejich vizuální reprezentaci. Pokud spojíte všechny body objektu přímkami (projekční paprsky) s konstantním bodem O (promítací střed), ve kterém se předpokládá oko pozorovatele , pak na průsečíku těchto paprsků s libovolnou rovinou vznikne průmět všech bodů objektu. Získáme tak perspektivní obraz předmětu na rovině nebo středovou projekci .

Je-li střed promítání nekonečně vzdálený od roviny obrazu, mluví se o paralelním promítání ; navíc, pokud projekční paprsky dopadají kolmo k rovině - pak o ortogonální projekci , a pokud šikmo - o šikmé .

Pokud rovina promítání není rovnoběžná s žádnou ze souřadnicových rovin pravoúhlého systému , jedná se o axonometrické promítání .

Pro kteroukoli z těchto projekcí přechází úsečka do úsečky (a v degenerovaném případě, když úsečka leží na promítacím paprsku, do bodu); z přímky se může stát přímka nebo paprsek. Tato vlastnost značně zjednodušuje aplikaci promítání pro vizuální účely, zejména v technickém kreslení , kdy objekt obsahuje mnoho přímočarých prvků: stačí promítnout konce segmentů a spojit je ve výkresu přímkami.
Elipsa nebo kruh se změní na elipsu (v degenerovaném případě na segment nebo kruh).

Projekce z libovolného prostoru do jeho podprostoru

Projekce v tomto smyslu (zmíněná v úvodu v odstavci 2) se hojně využívá v lineární algebře (blíže viz: Projekce (lineární algebra) ), ale v praxi nejen v dosti abstraktních kontextech, ale i při práci s vektory jakékoli povahy, rozměrů a stupňů abstrakce, a to i v elementární geometrii, a také - velmi široce - při použití přímočarých souřadnic (jako pravoúhlých nebo afinních ).

Samostatně bychom měli zmínit promítání bodu na přímku a promítání vektoru na přímku (na směr).

Ortogonální promítání na přímku a na směr

Nejčastěji používané promítání je ortogonální.

Pojem promítání se v tomto smyslu používá jak ve vztahu k samotné promítací operaci, tak ve vztahu k jejímu výsledku (při operaci promítání na přímku se obrazy bodu, vektoru, množiny bodů nazývají promítání bodu , vektor, množina bodů na této čáře).

Elementární popis pravoúhlého promítání bodu na přímku se scvrkává na skutečnost, že z bodu na přímku by měla být spuštěna kolmice a její průsečík s přímkou poskytne obraz bodu (projekci bodu na tento řádek). Tato definice funguje jak v rovině, tak v trojrozměrném prostoru a v prostoru jakékoli dimenze.

Elementární definice projekce vektoru na přímku je nejsnáze dána reprezentací vektoru jako řízeného segmentu. Potom lze jeho začátek a jeho konec promítnout na přímku a směrovaný segment od průmětu začátku do průmětu konce původního vektoru dá svůj průmět na přímku.

Průmět vektoru do určitého směru se obvykle nazývá číslo, které se v absolutní hodnotě shoduje s délkou průmětu tohoto vektoru na přímku, která tento směr definuje; znaménko čísla se volí tak, že je považováno za kladné, když se směr tohoto promítání shoduje s daným směrem, a záporné, když je směr opačný.

Poslední definici lze velmi snadno nahradit ekvivalentní pomocí tečkového součinu : je-li směr dán jednotkovým vektorem e , pak projekce libovolného vektoru a do tohoto směru je rovna tečkovému součinu a•e .
Totéž lze přepsat , kde je délka vektoru , je úhel mezi vektorem a směrem, do kterého se hledá projekce. $|{\mathbf a}|{\mathrm {cos}}\ \alpha$ $|{\mathbf a}|$ $\mathbf {a}$ $\alpha$ $\mathbf {a}$

Nepravoúhlé promítání na přímku a směr

Neortogonální promítání se používá méně často, a i když se tento termín používá, zejména v elementárních kontextech, není vždy používán.

Nejjednodušší způsob, jak určit nepravoúhlou projekci na přímku, je specifikovat tuto přímku samotnou a rovinu (ve dvourozměrném případě jinou přímku místo roviny; v případě n - rozměrného prostoru nadrovinu rozměr ( n -1)) protínající přímku. Průmět bodu je definován jako průsečík roviny (nadroviny) obsahující tento bod a rovnoběžný s rovinou, která definuje průmět.

V případě, kdy je rovina (nadrovina) definující průmět kolmá k přímce, dostaneme promítání kolmé (může to být její alternativní definice). Proto pro vlastní neortogonální projekci je třeba vyžadovat, aby tato ortogonalita chyběla.

Pro nepravoúhlé promítání vektoru na přímku a do směru se definice získávají z dané definice průmětu bodu, stejně jako to bylo popsáno v odstavci o kolmém promítání.

Je pravda, že je třeba mít na paměti, že standardně je promítání vektoru na přímku nebo do směru stále chápáno jako ortogonální promítání.

Přesto může být koncept nepravoúhlého promítání užitečný (alespoň pokud se nebojíte terminologického zmatku) pro zavádění kosoúhlých souřadnic a práci s nimi (jejich prostřednictvím v zásadě koncept souřadnic bodů a vektorových souřadnic v tomto případě lze poměrně snadno definovat).

Promítání bodu na množinu

Průmět bodu v na konvexní množinu X je bodem množiny X takový, že [1] $p=p(v)$

\|pv\|=\inf _{x\in X}\|xv\|

Viz také

Projektor (matematika)

Poznámky

↑ Bazaraa, Sherali, Shetty, 2006 , vzorec 8.72, s. 435.

Literatura

Mokhtar S. Bazaraa, Hanif D. Sherali, C. V. Shetty. nelineární programování. - Wiley-Interscience, 2006. - ISBN 0-471-48600-0 .
Projekce // Malý encyklopedický slovník Brockhause a Efrona : ve 4 svazcích - Petrohrad. , 1907-1909.
Projekce - článek z Velké sovětské encyklopedie .
Promítací přístroj, Zvětšovač fotografií, Projekční tisk, Promítací přístroj // Technika fotokina: Encyklopedie / Ch. vyd. E. A. Iofis . — M .: Sovětská encyklopedie , 1981. — 447 s.

Typy projekcí
Paralelní Obdélníkový (pravoúhlý) šikmý axonometrická Izometrické dimetrický Trimetrický Perspektiva (centrální) Rybí oko