Centrální síly a jejich pole

Středová síla je síla, jejíž čára působení v jakékoli poloze tělesa, na které působí, prochází bodem zvaným střed síly (bod na obr. 1) [1] . $K$

Příklady centrálních sil jsou gravitační a Coulombovy síly , které jsou nasměrovány podél linie spojující bodové hmoty nebo bodové náboje .

Nejjednodušší způsob, jak zavést centrální síly, je pro fyzikální systémy skládající se z konečného počtu objektů, jejichž velikosti lze zanedbat (hmotné body), nebo někdy nějaké ekvivalentní, sestávající z rozšířených objektů s pevnou vnitřní strukturou [2] . Rozložené soustavy, ve kterých působí centrální síly, v obecném případě [3] , nemohou být reprezentovány konečným počtem hmotných bodů. V případě distribuovaných systémů je obecný přístup rozdělit je do velmi velkého (v limitě nekonečného) počtu prvků malé (v limitě tíhnoucí k nule) velikosti každého (které jsou považovány za hmotné body), mezi kterými centrální síly působí v souladu s výše uvedenou definicí. V tomto případě je tedy každá elementární síla ve skutečnosti centrální a skutečná síla je součtem (superpozicí) takových elementárních sil.

Klasická fyzika také zavádí koncept centrálního silového pole pro oblast trojrozměrného prostoru, ve kterém centrální síly působí. [čtyři]

Pro jakoukoli centrální sílu je vztah $\vec F$ ${\vec {M}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}=0,$

(kde M je moment sil, je vektor poloměru s počátkem ve středu síly), což znamená, že moment síly vzhledem ke středu síly je roven nule: ${\vec {r))$

Silová pole

Tato pole odpovídají Coulombovým silám (sílám elektrostatické interakce) a gravitačním silám (sílám univerzální gravitace). Podobnost mezi nimi spočívá v tom, že je lze detekovat při interakci hmotných objektů a v případě gravitace je vlastností, která tuto interakci určuje, hmotnost a v případě Coulombovy interakce náboj nesený tato hmota. Náboje, které nesouvisejí s hmotností, klasická fyzika nezná.

Hodnota charakterizující intenzitu centrálního silového pole je vektor směřující po přímce spojující bodový zdroj a zadaný bod pole.

Potenciální centrální pole

Práce centrální síly

Elementární práce síly, včetně centrální síly, je skalární veličina vypočítaná jako změna energie při pohybu působiště síly (v obecném případě při změně jeho velikosti a směru), při pohybu na tak malý segment jeho trajektorie, že vektor síly na něm lze považovat za nezměněný, to znamená ve vzdálenosti : $dA$ $\vec F$ ${\vec {d}}r$

$dA={\vec {F}}{\vec {d}}r=F\cos \alpha dr$ (5)

kde je úhel mezi těmito vektory. Od , pak na směru čtení úhlu nezáleží. $\alpha$ $\cos \alpha =\cos(-\alpha )$

Při přesunu vzdálenosti z do lze celou cestu rozdělit na základní úseky. A pak celková práce bude součtem těchto elementárních prací s tím větší přesností, čím více úseků budou trajektorie rozděleny, což je vyjádřeno integrálním znaménkem, jako limita tohoto součtu: ${\displaystyle r_{1))$ ${\displaystyle r_{2))$ $i$ $A$ $n$

$A=\lim \sum _{i=1}^{n}{F_{i}}\cos _{i}\alpha _{i}\ dr_{i}=\int \limits _{r_ {1}}^{r_{2}}{\vec {F}}_{r}d{\vec {r}}(6)$

S ohledem na pohyb v kartézském souřadnicovém systému lze centrální sílu znázornit jako geometrický součet jejích průmětů na souřadnicové osy:

${\vec {F}}={\vec {F}}_{x}+{\vec {F}}_{y}+{\vec {F}}_{z}=F_{x }{\vec {i}}+F_{y}{\vec {j}}+F_{z}{\vec {k}}(7)$

kde , , jsou jednotkové vektory ( orts ) pro jejich osy. ${\vec i}$ $\vec j$ ${\vec k}$

Potenciál pole

Ne pro každé silové pole závisí práce, kterou vykoná, pouze na poloze počátečního a konečného bodu pohybu. Jinými slovy, nezáleží na tvaru cesty.

Zmíněný integrál nebude záviset na tvaru cesty pouze v případě, že existuje nějaká primitivní funkce , ve vyjádření totálního diferenciálu, která: $U$

dU={\frac {\partial U}{\partial x}}dx+{\frac {\partial U}{\partial y}}dy+{\frac {\partial U}{\partial z}}dz (osm)

jeho parciální derivace budou odpovídat projekcím síly (podle stávající konvenční dohody - až do znaménka):

dU=-F_{x}dx-F_{y}dy-F_{z}dz(9)

V tomto případě se funkce nazývá potenciální funkce a silové pole se nazývá potenciální pole . [5] $U$

To však bude možné pouze tehdy, pokud budou současně splněny rovnosti:

${\frac {\partial F_{y)){\partial z))={\frac {\partial F_{z)){\partial y));{\frac {\partial F_{z)) {\částečné x))={\frac {\částečné F_{x)){\částečné z));{\frac {\částečné F_{x)){\částečné y))={\frac {\částečné F_ {y}}{\částečné x}}(10)$

Pro centrální síly je tato podmínka splněna. Pole, ve kterém jsou tyto podmínky splněny, se nazývá irotační pole . Potenciální pole jsou proto irotační pole. [5]

Znaménko minus ve vzorci spojujícím potenciální funkci a sílu je určeno snahou ztotožnit potenciální funkci s potenciální energií [6] (jinak by se dalo obejít bez znaménka minus, což se někdy děje čistě formálně při zavádění a potenciální funkce, zejména pro vektorové pole, které nemá povahu síly).

Komunikace s potenciální energií se přirozeně uskutečňuje prostřednictvím práce.

Zdá se přirozené předpokládat, že vektor intenzity pole je nasměrován OD zdroje pole (což je obvykle přijímáno při popisu elektrostatického pole při interakci stejnojmenných nábojů [7] ) Poté se stanoví bod umístěný v vzdálenost od centrálního náboje a tím, že mu dáme volnost, dostaneme, že se pod silou bude pohybovat do nekonečna. V tomto případě se práce provedená polem bude rovnat: ${\displaystyle r_{1))$

$A_{r_{1}}=\int \limits _{r_{1}}^{\mathcal {1}}{\vec {F}}_{r}d{\vec {r}}( jedenáct)$ .

Totéž lze říci, pokud pole posunulo těleso dále a v důsledku toho vykonalo více práce, a proto je rozdíl v práci na dráze mezi body větší než nula. ${\displaystyle r_{2}>r_{1))$

A tyto práce mohou být vyvolány do konstantního bodového potenciálu : a , což znamená potenciálem schopnost konat práci, která je vyšší pro bližší bod než pro vzdálenější. ${\displaystyle U_{l1))$ $U_{l2}$

Potom se práce vykonaná polem bude rovnat potenciálnímu rozdílu se znaménkem mínus

$A=\int \limits _{r_{1}}^{r_{2}}{\vec {F}}_{r}d{\vec {r}}=U_{l1}-U_{ l2}=-\Delta U(12)$

Práce síly na cestě z výchozího bodu do konečného se tedy rovná změně potenciálové funkce, která je skalární funkcí vzdálenosti. V tomto případě je možné pro každý bod dráhy, až do konstantní hodnoty, přiřadit jeho vlastní potenciál : $U$

Pole jako potenciální gradient

V poli centrální síly je její složkou podél dané osy rychlost změny potenciální funkce podél téže osy nebo gradient funkce podél daného směru.

Pro popis změny potenciálové funkce v libovolném směru v teorii pole je zaveden vektorový diferenciální operátor, který má tvar :

\nabla \equiv {\frac {\partial }{\partial x}}{\vec {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\vec {j}}+{ \frac {\partial }{\partial z}}{\vec {k}}(13)

Aplikováním tohoto operátoru na potenciálovou funkci získáme, že v daném bodě pole je síla (až po znaménko) gradientem potenciálu:

{\vec {F}}=F_{x}{\vec {i}}+F_{y}{\vec {j}}+F_{z}{\vec {k}}={\vec {F}}_{x}+{\vec {F}}_{y}+{\vec {F}}_{z}=-\nabla U\equiv -\mathbf {grad} U(14).

Znaménko minus, které je podle obvyklé konvence v tomto vzorci přítomno, je způsobeno skutečností, že funkci U lze ztotožnit s potenciální energií (ačkoli čistě formálně by mohla být potenciální funkce zvolena s jiným znaménkem, pokud taková identifikace se nepředpokládá).

Coulombovo pole

Intenzita Coulombova pole je určena vektorem rovným: ${\vec E}$

${\vec {E}}=C_{Q}{\frac {Q{\vec {r}}}{r^{3}}}(15)$

nebo přechodem ke skalárnímu zápisu:

$E=C_{Q}{\frac {Q}{r^{2))}(16)$

Zde ; - náboj těla - zdroj síly; , je vzdálenost k bodu, kde je určena intenzita, a konstanta závisí na dielektrické konstantě média (pro prázdný prostor rovný 1), ve kterém pole existuje: $E=\lVert {\vec {E}}\rVert$ $Q$ $r=\lVert {\vec {r}}\rVert$ $C_{Q}$ $\varepsilon$

${\displaystyle C_{Q}={\frac {1}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0))))$ , kde:

$\varepsilon _{0}$ je dielektrická konstanta vakua. V tomto případě pro vakuum

${\displaystyle C_{Q}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0))))$ = Vm/As v mezinárodní soustavě jednotek [8] , $10^{10}$

Coulombovy síly

Předmětem působení Coulombova pole je hmotné těleso nesoucí náboj $q$

V tomto případě na něj působí mechanická (newtonská) síla elektrického původu, která se rovná součinu velikosti náboje a intenzity pole:

nebo s ohledem na ():

${\vec {F}}_{q}=C_{Q}{\frac {qQ{\vec {r}}}{r^{3}}}(17)$ nebo ve skalární reprezentaci:

$F_{q}=C_{Q}{\frac {qQ}{r^{2}}}(18)$

Specifikem Coulombova pole je, že vektor jeho intenzity směřuje buď OD zdroje pole v případě shody znaménka náboje zdroje a objektu interakce, nebo směřuje ke zdroji. v případě opačných nábojů. To znamená, že nabitá hmotná tělesa budou v prvním případě pociťovat odpudivou sílu a v opačném případě sílu, která je přiblíží.

Další vlastností Coulombova pole je technická schopnost vybrat oblast prostoru, ve které bude chybět v požadovaném rozsahu ( Faradayova klec )

Gravitační pole

V ruskojazyčné literatuře se intenzita gravitačního pole nazývá „zrychlení volného pádu“ , v zahraničí se někdy nazývá intenzita gravitačního pole. ${\vec {g))$

${\vec {g}}=G{\frac {M{\vec {r}}}{r^{3}}}(19)$

Nebo změna na skalární notaci: $g=G{\frac {M}{r^{2}}}(20)$

Zde ; je hmotnost tělesa – zdroj gravitace; je vzdálenost k bodu, kde je určena intenzita, a konstanta je gravitační konstanta, která je podle moderních údajů , [9] $g=\lVert {\vec {g}}\rVert$ $M$ $r=\lVert {\vec {r}}\rVert$ $G$ $G=6.6742*10^{-11}{\frac {m^{3}}{kg*s^{2}}}$

Gravitační síly

Předmětem působení gravitačního pole je hmotné těleso o hmotnosti $m$

V tomto případě na něj působí mechanická síla, která se rovná součinu hmotnosti těla a intenzity pole. Podstatné je, že mezi hmotností obsaženou v druhém Newtonově zákonu a hmotností téhož tělesa vystaveného gravitaci není žádný rozdíl ve velikosti. Pak s ohledem (): $m$

${\vec {F}}_{g}=m{\vec {g}}(21)$

nebo ve skalární reprezentaci:

$F_{g}=mg\ (22)$

Specifickým rysem gravitačních sil je, že se vždy jedná o síly přitažlivé. Navíc gravitační síly jsou všeprostupující a žádný štít se jim nemůže bránit. Tato vlastnost kombinuje gravitační síly s fiktivními silami setrvačnosti, které existují v jakékoli neinerciální vztažné soustavě. Taková analogie vychází ze základních vlastností vesmíru, jejichž studium přesahuje rámec klasické fyziky. [deset]

Potenciál gravitačního pole

Pokud do (6) dosadíme hodnotu univerzální gravitační síly z (20), dostaneme, vezmeme-li v úvahu skutečnost, že práce byla vykonána proti poli:

$A=-GmM\int \limits _{r_{1}}^{r_{2}}{\frac {\vec {r}}{r^{3}}}d{\vec {r} }=-GmM\left({\frac {1}{r_{2}}}-{\frac {1}{r_{1}}}\right)=U_{2}-U_{1}$ (23)

Každému bodu gravitačního pole lze tedy až do konstanty přiřadit vlastní potenciál, jako:

$U_{r}=-GmM\left({\frac {1}{r}}\right)$ [11] (24)

Pohyb při působení centrální síly

V obecném případě může být jakákoli trajektorie tělesa, považovaná za hmotný bod, reprezentována jako prostorová křivka sestávající ze sdružených zatáček v různých rovinách kolem okamžitých středů zatáček s různými hodnotami poloměru zatáček na stejném obrázku. Má to. $r_{c}$

Ale zakřivení trajektorie vůbec neznamená, že na těleso působí určitá síla, která je pro každý moment dostředivou silou.

Komentář

Poslední věta je velmi důležitá. Takže například pro pozemského pozorovatele se bomba svržená z rovnoměrně a přímočarého letadla pohybuje po parabole. Jenže pro pilota to v tomto případě padá vertikálně působením jediné gravitační síly (pokud nepočítáte s driftem kvůli odporu vzduchu). Nepůsobí zde žádné síly, které způsobují zakřivení trajektorie. Dostředivé síly nevznikají proto, že je trajektorie zakřivená, ale proto, že jsou vyjádřením skutečné silové interakce pohybujícího se objektu s jeho okolím.

Předpokládá se, že v centru síly je zdroj síly, kterým může být gravitující hmota nebo elektrický náboj, pokud je daná síla charakteristikou odpovídajícího silového pole. Střed síly se obecně neshoduje s okamžitým středem rotace – bod na obr. K této koincidenci dochází pouze tehdy, když se těleso otáčí po kruhovém oblouku. [čtyři] $C$

Jak je vidět na obr.1, jediná síla působící mezi tělesy a může být rozložena na dvě složky: (2) $\alpha$ $K$ ${\vec {F}}$ ${\vec {F}}={\vec {F}}_{t}+{\vec {F}}_{n}$

V tomto případě existuje tangenciální síla v závislosti na směru pohybu tělesa po jeho trajektorii na obrázku, která buď zpomaluje jeho pohyb, nebo jej zrychluje. ${\vec {F}}_{t}$

${\vec {F}}_{n}$ je síla směřující podél normály k tečně k trajektorii směrem k okamžitému středu a je to tedy dostředivá síla. [12]

Přímo z definice pojmů momenty síly a moment hybnosti (moment hybnosti) vyplývá experimentálně potvrzená skutečnost, že rychlost změny momentu hybnosti rotujícího tělesa je přímo úměrná velikosti působícího momentu síly. na tělo : ${\vec L}$ ${\vec M}$

${\frac {d{\vec {L}}}{dt}}={\vec {M}}(3)$

V poli středové síly je však její moment vždy roven nule (vzorec (1)). Z toho přímo vyplývá, že pro jakýkoli pohyb tělesa v poli centrální síly zůstává moment hybnosti tělesa pohybujícího se jeho působením konstantní:

${\vec {L}}=const(4)$ . Protože ale stálost vektoru je zároveň zachováním jeho směru v prostoru, leží plocha vychýlená při pohybu tělesa vždy ve stejné rovině. Z toho vyplývá, že jakákoli dráha pohybu tělesa při působení centrální síly je plochá křivka.

Nejčastěji je pohyb těles v gravitačním poli studován v oblasti nebeské mechaniky, kde převládají gravitační vlivy, a proto lze zkoumaný systém interagujících sil považovat za systém konzervativní , tedy takový, ve kterém je celková energie tělesa je zachována jako součet potenciální a kinetické energie. [čtyři]

${\displaystyle E=W_{k}+W_{p))$ (25), kde:

$W_{k}={\frac {m}{2}}(v_{n}^{2}+v_{t}^{2})(26)$ navíc a odpovídají rychlostem vytvořeným normálovou a tečnou složkou síly působící na těleso na Obr. $v_{n}$ ${\displaystyle v_{t))$

Pomocí definice kinetického momentu: získáme vztah pro kinetickou energii tečného pohybu: ${\displaystyle L=mrv_{t))$

$W_{k}(t)={\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}(27)$ .

A pro pohyb podél normály k trajektorii: $W_{k}(n)={\frac {mv_{n}^{2}}{2}}(28)$

$W_{p}={\frac {GmM}{r}}(29)$

Pak bude výraz pro celkovou energii těla vypadat takto:

$E={\frac {mv_{n}^{2}}{2}}+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {GmM}{r }}(třicet)$

S ohledem na efektivní potenciál : $U^{*}$

$U^{*}={\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {GmM}{r}}(31)$

Získáme tak možnost spojit rozsah změny délky poloměrového vektoru trajektorie tělesa s jím uloženou energií, což je znázorněno na obr. 2 [13]

Takže při minimální energii pohybujícího se tělesa se těleso pohybuje po kruhové dráze s poloměrem $E_{3}$ $r_{0}$

Pokud je pohybová energie tělesa větší, řekněme , trajektorie tělesa bude elipsa s vedlejší poloosou a hlavní poloosou . $E_2$ $r_{a}$ $r_{b}$

Nakonec se s energií těla rozptýlí a přiblíží se na minimální vzdálenost $E_1$ $r_{s}$

Poznámky

↑ Centrální síla // Fyzická encyklopedie / Ch. vyd. A. M. Prochorov . - M .: Velká ruská encyklopedie , 1998. - T. 5. - S. 425-426. — 760 s. — ISBN 5-85270-101-7 .
↑ Týká se sféricky symetrických objektů (nebo objektů, které se od sféricky symetrických liší natolik, že je lze v rámci pracovní aproximace považovat za sféricky symetrické).
↑ Ve skutečnosti - téměř v každém případě, kromě výše popsaných; i v tak jednoduchém případě, jako je Coulombova interakce absolutně tuhých nekulových těles s na nich fixovanými rozloženými náboji, je obvykle nemožné zredukovat výpočet sil na síly mezi malým počtem hmotných bodů.
↑ 1 2 3 Fyzikální encyklopedický slovník / kap. vyd. A. M. Prochorov. Red.col. D. M. Alekseev, A. M. Bonch-Bruevich, A. S. Borovik-Romanov a další - M .: Sov. encyklopedie, 1983.-323 s., il, 2 listy barev il.
↑ 1 2 Bronstein I. N. Semenďajev K. A. Příručka matematiky. M .: Nakladatelství "Nauka" Redakční rada referenční fyzikální a matematické literatury. 1964.
↑ Vzhledem k tomu, že součet potenciální a kinetické energie musí být zachován, ve směru síly (která může částici v tomto směru urychlit, a tím zvýšit její kinetickou energii), potenciální energie klesá.
↑ Tamm I. E. Základy teorie elektřiny
↑ GOST 8.417-2002. Jednotky
↑ Ulrich Leute. Physik und ihre Anwendungen in Technik und Umwelt: Carl Hanser Verlag; München, Wien- 2004 ISBN 3-446-22884-5
↑ Khaikin, Semjon Emmanuilovič | S. E. Khaikin . Síly setrvačnosti a beztíže. M., 1967. Nakladatelství "Věda". Hlavní vydání fyzikální a matematické literatury.
↑ Ulrich Leute. Physik und ihre Anwendungen in Technik und Umwelt: Carl Hanser Verlag; München, Wien- 2004 ISBN 3-446-22884-5
↑ Klaus Dransfeld, Paul Kleine, Georg Michael Kalvius. Physik I. Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH 2001 ISBN 3-486-25416-2
↑ '