Hmotnost cyklotronu

Hmotnost cyklotronu je efektivní hmotnost elektronu nebo díry, která charakterizuje pohyb nosičů náboje v magnetickém poli. V obecném případě se tato hmotnost neshoduje s efektivní hmotností nosičů. U vodičů s anizotropním Fermiho povrchem jsou inerciální charakteristiky nosičů popsány pomocí efektivního hmotnostního tenzoru . Hmotnost cyklotronu je měřena studiem rezonance cyklotronu , efektů magnetických oscilací ( Shubnikov-de Haasův efekt , de Haas-van Alphenův efekt ) a dalších kinetických efektů a termodynamických charakteristik [1] . Znalost hmotnosti cyklotronu umožňuje rekonstruovat tvar Fermiho povrchu v tělese.

Teorie pro křemík [2]

Fermiho povrch křemíku, který je polovodičem s nepřímou mezerou , se skládá ze šesti rotačních elipsoidů v k-prostoru. Uvažujme část Fermiho povrchu rovinou XZ tak, že v této rovině budou 4 prolatované elipsy se středy umístěnými na osách ve vzdálenosti . Nechť vektor magnetického pole leží v této rovině a svírá úhel s osou Z. Anizotropní disperzní zákon pro elektrony má tvar $k_{0}$ $\mathbf {B}$ $\theta$

\varepsilon ={\frac {\hbar ^{2}}{2}}\left({\frac {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}{m_{t ))}+{\frac {(k_{z}-k_{0})^{2}}{m_{l}}}\right),

kde jsou zavedeny dvě různé efektivní hmoty , , které se nazývají podélné a příčné efektivní hmoty. Pohybová rovnice částice ( 2. Newtonův zákon ) s nábojem "-e" v magnetickém poli bez tlumení ${\displaystyle m_{t))$ $m_{l}$ $\mathbf {B}$

\hbar {\frac {d\mathbf {k} }{dt))=-e\mathbf {v} \times \mathbf {B} ,

kde je vlnový vektor a rychlost částice je dána vztahem $\mathbf {k}$ $\mathbf{v}$

\mathbf {v} ={\frac {1}{\hbar }}\nabla _{k}\varepsilon =\left({\frac {\hbar k_{x}}{m_{t}}} ,\,{\frac {\hbar k_{y}}{m_{t}}},\,{\frac {\hbar (k_{z}-k_{0})}{m_{l}}}\ že jo).

Nyní napíšeme složku po složce pohybový zákon

\hbar {\frac {dk_{x}}{dt}}=-{\frac {e\hbar Bk_{y}}{m_{t}}}\cos {\theta },

\hbar {\frac {dk_{y}}{dt}}={\frac {e\hbar Bk_{x}}{m_{t}}}\cos {\theta }-{\frac {e \hbar B(k_{z}-k_{0})}{m_{l))}\sin {\theta },

\hbar {\frac {dk_{z}}{dt}}={\frac {e\hbar Bk_{y}}{m_{t}}}\sin {\theta }.

Zajímají nás pouze řešení formou

k_{x}=k_{1}e^{i\omega t},\,k_{y}=k_{2}e^{i\omega t},\,k_{z}=k_{ 0}+k_{3}e^{i\omega t}.

Toto řešení existuje na určité frekvenci zvané cyklotron , která závisí na úhlu:

\omega _{c}=eB\left({\frac {\sin ^{2}{\theta }}{m_{l}m_{t}}}+{\frac {\cos ^{2 }{\theta }}{m_{t}^{2}}}\right)^{1/2}.

Zde můžeme definovat hmotnost cyklotronu jako

m_{c}=eB/\omega _{c}.

Je vidět, že pokud je úhel roven nule, pak , a pokud je úhel pravý: . ${\displaystyle m_{c}=m_{t))$ ${\displaystyle m_{c}={\sqrt {m_{l}m_{t))))$

Obecný případ

V obecném případě [3] pro libovolný Fermiho povrch , například v kovech, Fermiho povrch může mít složitý tvar, musíte použít následující vzorec pro cyklotronovou frekvenci [4]

\omega _{c}={\frac {2\pi eB}{\hbar ^{2))}{\frac {1}{(\partial S/\partial \varepsilon _{F})} }

a hmotnost cyklotronu

m_{c}={\frac {\hbar ^{2}}{2\pi }}{\frac {\partial S}{\partial \varepsilon )),\qquad (1)

kde je plocha průřezu Fermiho povrchu rovinou , je projekce vektoru elektronové vlny do směru magnetického pole, je energie elektronu. $S(\varepsilon ,k_{H})$ ${k_{H}}=const$ $k_{H}$ $\varepsilon$

Případ parabolické zóny

Pro nejjednodušší izotropní parabolickou zónu lze energii a plochu znázornit jako následující funkce vlnového vektoru [4] :

\varepsilon _{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m^{*}}}\

{S}\left(\varepsilon _{F},{{k}_{H}}\right)=\pi k_{\bot }^{2}=\pi \left({\frac { 2{{m}^{*}}\varepsilon _{F}}{{\hbar }^{2}}}-k_{H}^{2}\right)\,,

kde je velikost složky vlnového vektoru kolmá k magnetickému poli a je Fermiho energie . V tomto případě bude mít plošná derivace energie nejjednodušší formu: ${\displaystyle k_{\bot ))$ $\varepsilon _{F}$

{\frac {\partial {S}}{\partial \varepsilon _{F}}}={\frac {2\pi {{m}^{*}}}{{\hbar }^{2 }}}\,.

Dosazením získané hodnoty pro derivaci do vzorce pro efektivní hmotnost zjistíme:

m_{c}={\frac {\hbar ^{2}}{2\pi }}\cdot {\frac {\partial S}{\partial \varepsilon _{F}}}=m^{ *}\,.

V případě jednoduché izotropní parabolické zóny tedy existuje identita mezi "cyklotronovou hmotností" a "efektivní hmotností". Tato okolnost umožňuje ve většině praktických případů měřit efektivní hmotnost nosičů v pevné látce.

Cyklotronová hmota pro grafen [5] [6]

Dvourozměrný zákon disperze grafenu v blízkosti Diracových bodů je dán rovnicí

\varepsilon =\pm \hbar v_{F}k\,,

kde je excitační energie, je Fermiho rychlost a je absolutní hodnota dvourozměrného vlnového vektoru. $\varepsilon$ $VF}$ $k$

Uvažujme dopovaný grafen s hustotou nosičů na jednotku plochy, při teplotě dostatečně nízké, aby elektrony vytvořily degenerovaný Fermiho plyn . Poté můžete definovat Fermiho povrch jako 2D čáru - kružnici . Po zohlednění spinu a degenerace údolí je odpovídající vektor Fermiho vlny $n_s$ $\varepsilon =\varepsilon_{F}$ $k_{F}$

{{k}_{F}}={\sqrt {\pi n_{s}}}\,.

Pro určení hmotnosti cyklotronu v semiklasické aproximaci použijeme rovnici (1), do které bychom dosadili, , plochu v k-prostoru ohraničenou dráhou s energií $S(\varepsilon )$ $\varepsilon$

S\left(\varepsilon \right)=\pi {{k}^{2}}\left(\varepsilon \right)={\frac {\pi ({\varepsilon }^{2}}} {{{\hbar }^{2}}v_{F}^{2}}}\,,

kde najdeme hmotnost cyklotronu:

m_{c}={\frac {\hbar {{k}_{F}}}{{v}_{F}}}={\frac {\hbar }{v_{F}}}{ \sqrt {\pi n_{s))}\,.

Viz také

Poznámky

↑ Lifshits I. M., Azbel M. Ya., Kaganov M. I. Elektronická teorie kovů. M.: Nauka, 1971. - 416 s.
↑ Hook JR pp. 158-159.
↑ Hook JR str. 375.
↑ 1 2 A.A. Abrikosov. Základy teorie kovů. - Moskva: FIZMATLIT, 2010. - S. 87. - ISBN 978-5-9221-1097-6 .
↑ Eva Y Andrei, Guohong Li a Xu Du, Elektronické vlastnosti grafenu: pohled z rastrovací tunelové mikroskopie a magnetotransportu. Rep. Prog. Phys. 75 (2012) 056501 (47pp) arXiv:1204.4532 [cond-mat.mes-hall]
↑ S. Das Sarma, Shaffique Adam, EH Hwang a Enrico Rossi. Elektronický transport ve dvourozměrném grafenu // Recenze moderní fyziky. - 2011. - 16. května ( roč. 83 ). - str. 407 . - doi : 10.1103/RevModPhys.83.407 . - arXiv : https://arxiv.org/pdf/1003.4731 .

Literatura

Hook JR, Hall HE Fyzika pevných látek. - 2. vyd.. - Chichester: John Wiley & Sons, 1997. - S. 158-159. — 474 s. - ISBN 0-471-92805-4 .
Ridley B. Kvantové procesy v polovodičích. - Moskva: Mir, 1986. - S. 63-64. — 304 s. — ISBN MDT 537,33+535,2.

Odkazy

Fyzická encyklopedie, v.5 - M.: Velká ruská encyklopedie str.429