Efektivní hmota

Efektivní hmotnost je veličina, která má rozměr hmotnosti a používá se k pohodlnému popisu pohybu částice v periodickém potenciálu krystalu . Lze ukázat, že elektrony a díry v krystalu reagují na elektrické pole , jako by se volně pohybovaly ve vakuu , ale s určitou efektivní hmotností, která se obvykle udává v jednotkách hmotnosti elektronu (9,11 × 10 −31 kg ) . Efektivní hmotnost elektronu v krystalu ( vodivostní elektron ) se obecně liší od hmotnosti elektronu ve vakuu a může být buď kladná nebo záporná [1] . $m_{0}$

Koncept efektivní hmoty

Izotropní varianta

Pokud je zákon disperze elektronů v konkrétní krystalické látce takový (nebo jej lze za takový s přijatelnou přesností považovat), že energie závisí pouze na modulu vlnového vektoru , pak je efektivní hmotnost elektronu podle definice množství [2] $E=E({\vec {k)))$ $E$ $k$

m^{*}=\hbar ^{2}/\left[{{d^{2}E} \over {dk^{2}}}\right]

kde je Planck-Diracova konstanta . $\hbar$

Někdy je tato aproximace z důvodu radikálního zjednodušení omezená, jako by izotropní situace byla jedinou možnou situací.

Fyzický význam

Rychlost elektronu v krystalu je rovna skupinové rychlosti elektronových vln a je definována jako

v_{g}={\frac {d\omega }{dk}}={\frac {1}{\hbar }}{\frac {dE}{dk}}

Zde je frekvence. Časovou diferenciací určíme zrychlení elektronu: $\omega$ ${\displaystyle v_{g))$

a={\frac {dv_{g}}{dt}}={\frac {1}{\hbar }}{\frac {d^{2}E}{dk^{2}}}{ \frac {dk}{dt}}}

Síla působící na elektron v krystalu je

F={\frac {dp}{dt}}=\hbar {\frac {dk}{dt}}

kde je hybnost. Z posledních dvou výrazů dostáváme $p$

a={\frac {1}{\hbar ^{2}}}{\frac {d^{2}E}{dk^{2}}}F={\frac {F}{m^ {*}}}

z čehož lze vidět význam velikosti jako jakési „hmoty“. $m^{{*}}$

Typické chování

Pro volnou částici je disperzní zákon kvadratický a efektivní hmotnost je tedy konstantní a rovná se klidové hmotnosti elektronu . $m_{0}$

V krystalu je situace složitější a disperzní zákon se liší od kvadratického. Nicméně křivka disperzního zákona v blízkosti jejího extrému je často dobře aproximována parabolou - a pak bude efektivní hmotnost také konstanta, i když odlišná od . V tomto případě se může ukázat, že je jak pozitivní (u spodní části vodivostního pásma ), tak negativní (v horní části valenčního pásma ). $E({\vec {k)))$ $m^{*}$ $m_{0}$ $m^{*}$

Daleko od extrémů efektivní hmotnost zpravidla silně závisí na energii (výraz „závisí na energii“ je vhodný pouze pro izotropní případ) a pak práce s ní přestává přinášet pohodlí. $E$

Hmotnostní anizotropie

V obecném případě efektivní hmotnost závisí na směru v krystalu a je to tenzor. Je zvykem hovořit o inverzním efektivním tenzoru hmoty, jeho složky se nalézají z disperzního zákona [3] [4] : $E=E({\vec {k)))$

{\displaystyle \left({\frac {1}{m^{*}}}\right)_{i,j}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}{\frac {\ částečné ^{2}E}{\částečné k_{i}\částečné k_{j))))

kde je vlnový vektor s průměty , , na osách kartézského souřadnicového systému. Tenzorová povaha efektivní hmoty ilustruje skutečnost, že elektron se pohybuje v krystalové mřížce jako kvazičástice, jejíž pohybové parametry závisí na směru vzhledem ke krystalografickým osám krystalu. V tomto případě hodnoty nezávisí na energii, ale na stavu určeném vektorem . $\vec{k}$ $k_{x}$ ${\displaystyle k_{y))$ $k_{z}$ ${\displaystyle (1/m^{*})_{i,j))$ $\vec{k}$

Existují i jiné přístupy pro výpočet efektivní hmotnosti elektronu v krystalu [5] .

Stejně jako v izotropní aproximaci je použití inverzního efektivního hmotnostního tenzoru omezeno hlavně na oblasti blízko extrémů funkce . Mimo tyto oblasti - jako například v případě analýzy chování populace horkých elektronů - jsou přímo uvažovány závislosti , které jsou tabelovány. $E({\vec {k)))$ $E({\vec {k)))$

Hodnota pro některé polovodiče

Charakteristické hodnoty efektivní hmotnosti se pohybují od zlomků po jednotky , nejčastěji kolem . $m_{0}$ ${\displaystyle 0,5 m_{0))$

Tabulka ukazuje [6] [7] efektivní hmotnost elektronů ( ) a děr ( ) pro nejdůležitější polovodiče — jednoduché látky IV. skupiny a binární sloučeniny A III B V a A II B VI . Všechny hodnoty jsou uvedeny v jednotkách hmotnosti volných elektronů . $m_{e}^{*}$ $m_{h}^{*}$ $m_{0}$

Materiál	$m_{e}^{*}$	$m_{h}^{*}$
Skupina IV
Si (4,2 kB)	1.08	0,56
Ge	0,55	0,37
A III B V
GaAs	0,067	0,45
InSb	0,013	0,6
A II B VI
ZnSe	0,17	1.44
ZnO	0,19	1.44

Toto místo udává teplotní závislost efektivní hmoty pro křemík.

Experimentální definice

Účinné hmotnosti nosiče byly tradičně měřeny metodou cyklotronové rezonance , která měří absorpci polovodiče v mikrovlnném rozsahu spektra jako funkci indukce magnetického pole . Když se mikrovlnná frekvence rovná cyklotronové frekvenci , je ve spektru pozorován ostrý vrchol ( - hmotnost cyklotronu ). V případě kvadratického zákona izotropní disperze pro nosiče náboje se efektivní a cyklotronová hmotnost shodují, . V posledních letech byly efektivní hmotnosti obvykle určovány z měření pásové struktury pomocí metod, jako je úhlově rozlišená fotoemise (ARPES) nebo přímější metoda založená na de Haas-van Alphenově jevu . $B$ $\omega _{c}={\frac {eB}{m_{c))},$ ${\displaystyle m_{c))$ $E({\overrightarrow {k)))=\hbar ^{2}k^{2}/2m^{*}$ $m_{c}=m^{*}$

Efektivní hmotnosti lze také odhadnout pomocí koeficientu γ z lineárního členu nízkoteplotního elektronického příspěvku k tepelné kapacitě při konstantním objemu Tepelná kapacita závisí na efektivní hmotnosti prostřednictvím hustoty stavů na Fermiho hladině . $životopis.$

Význam efektivní hmotnosti

Jak ukazuje tabulka, polovodičové sloučeniny A III B V , jako jsou GaAs a InSb, mají mnohem nižší efektivní hmotnosti než polovodiče ze čtvrté skupiny periodické soustavy - křemík a germanium. V nejjednodušší Drudeově teorii transportu elektronů je driftová rychlost nosičů nepřímo úměrná efektivní hmotnosti: kde , je relaxační čas hybnosti a je náboj elektronu . Rychlost integrovaných obvodů závisí na rychlosti nosičů, a tak nízká efektivní hmotnost je jedním z důvodů, proč se v aplikacích s velkou šířkou pásma místo křemíku používají polovodiče GaAs a další polovodiče skupiny A III B V . $\vec{v} = \begin{Vmatrix}\mu\end{Vmatrix} \cdot \vec{E},$ ${\begin{Vmatrix}\mu \end{Vmatrix}}={\frac {e\tau }{{\begin{Vmatrix}m^{*}\end{Vmatrix}}}}$ $\tau$ $E$

V případě přenosu elektronů a děr přes tenkou polovodičovou nebo dielektrickou vrstvu tunelovým efektem ovlivňuje efektivní hmota v této vrstvě koeficient prostupu (snížení hmoty vede ke zvýšení koeficientu prostupu) a následně proud.

Efektivní hmotnost hustoty stavů

Chování hustoty stavů elektronů a děr v blízkosti okrajů pásma je aproximováno vzorci

\rho _{e}(E)=4\pi \left({\frac {2m_{dc}}{h^{2}}}\right)^{3/2}{\sqrt {E -E_{c}}},\qquad \rho _{h}(E)=4\pi \left({\frac {2m_{dv}}{h^{2}}}\right)^{3/ 2}{\sqrt {E_{v}-E}}

kde a jsou energie okrajů valenčního pásma, respektive vodivostního pásu, je Planckova konstanta. Zde zahrnuté veličiny se nazývají efektivní hmotnosti hustoty stavů. Pro zákon izotropní parabolické disperze se shodují s efektivními hmotnostmi (odděleně pro elektrony a díry) a ve složitějších anizotropních případech se nalézají numericky, s průměrováním přes směry. $E_{v}$ $E_{v}$ $h$ ${\displaystyle m_{dv))$ ${\displaystyle m_{dc))$ $m^{*}$

Zobecnění

Pojem efektivní hmotnosti ve fyzice pevných látek se používá nejen ve vztahu k elektronům a dírám [3] . Zobecňuje se na další kvazičástice (typy excitací), jako jsou fonony , fotony nebo excitony , se stejnými rovnicemi pro výpočet (pouze zákony disperze jsou nahrazeny fonony a tak dále). Nicméně hlavní aplikací termínu je stále právě kinetika elektronů a děr v krystalech.

Odkazy

archiv NSM
Pastori Parravicini, G. Elektronické stavy a optické přechody v pevných látkách . — Pergamon Press, 1975. Kniha obsahuje obsáhlou a přitom přístupnou diskusi na toto téma s rozsáhlým srovnáním teorie a experimentu.

Poznámky

↑ Epifanov, 1971 , str. 137.
↑ Epifanov, 1971 , str. 136.
↑ 1 2 Fyzikální encyklopedický slovník, článek "Efektivní hmotnost" - M .: Sovětská encyklopedie. vyd. A. M. Prochorová. 1983.
↑ Askerov, BMJevy elektronového transportu v polovodičích ,5. vydání . - Singapur: World Scientific , 1994. - S. 416.
↑ Pekar S.I. Vodivostní elektrony v krystalech // Problémy teoretické fyziky. Sbírka věnovaná Nikolai Nikolajevičovi Bogolyubovovi v souvislosti s jeho šedesátými narozeninami. - M., Nauka , 1969. - Náklad 4000 výtisků. — c. 349-355
↑ Sze SM Fyzika polovodičových součástek . - John Wiley & Sons, 1981. - (publikace Wiley-Interscience). — ISBN 9780471056614 .
↑ Harrison W. A. Elektronická struktura a vlastnosti pevných látek: Fyzika chemické vazby . - Dover Publications, 1989. - (Dover Books on Physics). — ISBN 9780486660219 .

Literatura

Epifanov GI Fyzikální základy mikroelektroniky. - M . : Sovětský rozhlas, 1971. - 376 s.