Čtyři čtyřky

Čtyři čtyřky je matematický hlavolam k nalezení nejjednoduššího matematického výrazu pro každé celé číslo od 0 do nějakého maxima, za použití pouze běžných matematických symbolů a čtyřek (žádná jiná čísla nejsou povolena). Většina verzí „čtyř 4“ vyžaduje, aby každý výraz obsahoval přesně čtyři 4, ale některé varianty vyžadují, aby každý výraz měl minimální počet 4.

Pravidla

Existuje mnoho variant této hádanky. Jejich hlavní rozdíl je v tom, jaké matematické operace jsou povoleny. Téměř všechny varianty umožňují alespoň sčítání („+“), odčítání („−“), násobení („ד), dělení („÷“) a závorky a také zřetězení (např. je povoleno psaní „44“ ). Většina také umožňuje faktoriál ("!"), umocňování (např. "44 4 "), desetinnou čárku (".") a odmocninu ("√"), i když někdy je odmocnina výslovně vyloučena na základě toho, že je implikované "2" pro druhou odmocninu. V některých variantách jsou povoleny další operace, včetně subfaktoriálních ("!" před číslem: !4 se rovná 9), primorálních ("#" za číslem, například 4# se rovná 6), "()" nebo "bar over" (sekvence nekonečně se opakujících číslic), odmocnina libovolného stupně, funkce gama (Γ (), kde Γ (x) \u003d (x - 1)!) a procento ("%"). Tedy 4/4 % = 100 a Γ (4) = 6. Čára má následující význam:

Zpravidla není povoleno použití logaritmů, protože existuje triviální způsob, jak vyjádřit jakékoli číslo při jeho použití. Paul Burke, citující Ben Rudyak-Gould, popsal použití přirozených logaritmů (ln()) k reprezentaci libovolného přirozeného čísla n :

Jsou možné další možnosti (obvykle s jiným jménem): s nahrazením sady čísel ("4, 4, 4, 4") jiným, řekněme, rokem něčího narození. Například použití „1975“ by vyžadovalo, aby byla ve výrazu pro každé číslo použita pouze jedna 1, jedna 9, jedna 7 a jedna 5.

Rozhodnutí

Zde je sada řešení čtyř čtyřek pro čísla od 0 do 20 pomocí vzorových pravidel. Některá alternativní řešení jsou zde také uvedena, i když ve skutečnosti existuje mnohem více správných řešení.

0 = 4 ÷ 4 × 4 − 4 = 44 −44 1 = 4 ÷ 4 + 4 − 4 = 44 ÷44 2 = 4 −(4 + 4)÷ 4 = (44 + 4) ÷ 4! 3 = (4 × 4 − 4)÷ 4 = (4 + 4 + 4)÷ 4 4 = 4 + 4 × (4 − 4) = −44 + 4! +4! 5 = (4 × 4 + 4)÷ 4 = (44 − 4!)÷ 4 6 = 4 +(4 + 4)÷ 4 = 4,4 + 4 ×,4 7 = 4 + 4 − 4 ÷ 4 = 44 ÷ 4 − 4 8 = 4 ÷ 4 × 4 + 4 = 4,4 −,4 + 4 9 = 4 ÷ 4 + 4 + 4 = 44 ÷ 4 −√4 10 = 4 + 4 + 4 −√4 = (44 − 4) ÷ 4 11 = 4 ÷ 4 + 4 ÷,4 = 44 ÷√4 ÷√4 12 = 4 × (4 − 4 ÷ 4) = (44 + 4) ÷ 4 13 = (4 −,4)÷,4 + 4 = 44 ÷ 4 +√4 14 = 4 ×(4 −.4)−.4 = 4 + 4 + 4 +√4 15 = 4 × 4 − 4 ÷ 4 = 44 ÷ 4 + 4 16 = 4 × 4 + 4 − 4 = (44 − 4) ×,4 17 = 4 × 4 + 4 ÷ 4 = (44 + 4!) ÷ 4 18 = 4 × 4 + 4 −√4 = (44 ÷√4) − 4 19 = 4!− 4 −(4 ÷ 4) = (4 + 4 −,4) ÷,4 20 = 4 × (4 + 4 ÷ 4) = (44 − 4) ÷√4

Existuje také mnoho dalších způsobů prezentace.

Pozor na zápis některých desetinných zlomků. Takže "0,4" se obvykle zapisuje jako ".4". Je to proto, že "0" je číslo a v této hádance lze použít pouze čísla "4".

Daný počet bude mít obvykle více možných řešení a jakékoli řešení, které splňuje pravidla, je přijatelné. Některé varianty preferují „nejmenší“ počet operací, nebo preferují některé operace před jinými. Jiní prostě preferují „zajímavá“ řešení, tedy překvapivý způsob, jak dosáhnout cíle. Největší číslo, které lze zapsat pouze se čtyřmi 4s, čtyřmi aritmetickými operacemi a mocninami, je 4 4 ​​4 4 , což se přibližně rovná 10 10 154 .

Některá čísla, jako například 113 a 123, je obzvláště obtížné vyřešit v rámci typických pravidel. Pro 113 Wheeler navrhuje Γ (Γ (4)) - (4 + 4!) / 4. Pro 123 Wheeler navrhuje výraz:

Použití procent ("%") umožňuje řešení pro mnohem více čísel, například 113 = (√4 + (√4 + 4!)%) ÷ (√4)%. Proto není povoleno ve všech možnostech.

Hádanka je poprvé tištěna popsána v Mathematical Essays and Amusements ( W. W. Rose Ball , 1892). V této knize jsou „čtyři čtyřky“ popsány jako „tradiční zábava“.

Algoritmické problémy

Tento problém a jeho zobecnění (například „pět pětek“ a „šest šestek“, jak je uvedeno níže) lze vyřešit jednoduchým algoritmem. Řešením je sestavení hashovací tabulky , která mapuje čísla na řetězce. V těchto tabulkách mohou být čísla klíčů reprezentována jako některé platné kombinace operátorů a symbolů d , označujících například čtyři, a hodnoty, což jsou řetězce, které obsahují skutečné vzorce. Pro každé číslo n výskytů d existuje jedna tabulka. Například když d = 4, hašovací tabulky pro dva výskyty d budou obsahovat páry jako je tento: klíč–hodnota 8 a řetězec 4 + 4 a pro tři výskyty, například, páry jako tento: klíč–hodnota 2 řetězec ( 4 +4) / 4 (řádky tučně). Problém se pak redukuje na rekurzivní výpočet těchto hašovacích tabulek s přírůstky n, počínaje n = 1 a pokračující například až k n = 4. Tabulky pro n = 1 a n = 2 jsou triviální, protože obsahují primitivní prvky . Například pro n = 1 dostaneme:

T[4] := "4"; T[4/10] := ".4"; T[4/9] := ".(4)";

a pro n = 2:

T[44] := "44";.

V současné době existují dva způsoby, jak lze nové záznamy generovat jako kombinace existujících, pomocí binárních operátorů nebo použitím faktoriálu nebo odmocniny (které nepoužívají další instance d). V prvním případě jsou uvažovány a opakovány všechny dvojice podvýrazů, které používají celkem n d případů . Například, když n=4 , chtěli bychom testovat (a, b) s a obsahujícím jednu instanci d a tři b , nebo a obsahující dvě instance d a b s 2 d . Do hashovací tabulky bychom pak mohli zadat a+b, ab, ba, a*b, a/b, b/a) včetně závorek pro n=4 . Zde množiny A a B obsahují příslušně a a b , vypočítané rekurzivně na základě n=1 an =2 . Memoization se používá k zajištění toho, že každá hodnota hash tabulky je vypočtena pouze jednou.

V druhém případě (faktoriály a kořeny) probíhá zpracování pomocí pomocné funkce, která se volá pokaždé, když je zapsána hodnota V. Tato funkce počítá vnořené faktoriály a V kořeny až do určité maximální hloubky omezené čísly.

Posledním krokem algoritmu je iterace klíče z tabulky pro požadovanou hodnotu n a získání a třídění těch klíčů, které jsou celá čísla. Tento algoritmus byl použit k výpočtu níže uvedených příkladů pěti pětek a šesti šestek. Pokaždé byl zvolen kompaktnější vzorec (z hlediska počtu znaků v odpovídajících hodnotách), když se klíč objevil více než jednou.

Výtah z řešení úlohy s pěti pětkami

139 = ((((5+(5/5)))!/5)-5) 140 = (0,5*(5+(5*55))) 141 = ((5)!+((5+(5+.5))/.5)) 142 = ((5)!+((55/,5)/5)) 143 = ((((5+(5/5)))!-5)/5) 144 = ((((55/5)-5))!/5) 145 = ((5*(5+(5*5)))-5) 146 = ((5)!+((5/5)+(5*5))) 147 = ((5)!+((.5*55)-0.5)) 148 = ((5)!+(0,5+(0,5*55))) 149 = (5+(((5+(5/5)))!/5))

Výtah z řešení úlohy se šesti šestkami

V níže uvedené tabulce představuje položka .6… hodnotu 6/9 nebo 2/3 (periodického zlomku 6).

241 = ((.6+((6+6)*(6+6)))/.6) 242 = ((6*(6+(6*6)))-(6/.6)) 243 = (6+((6*(.6*66))-.6)) 244 = (0,6...*(6+(6*(66-6)))) 245 = ((((6)!+((6)!+66))/6)-6) 246 = (66+(6*((6*6)-6))) 247 = (66+((6+(6)!/,6...))/6)) 248 = (6*(6+(6*(6-(.6.../6))))) 249 = (0,6+(6*(6+((6*6)-0,6)))) 250 = (((6*(6*6))-66)/,6) 251 = ((6*(6+(6*6)))-(6/6)) 252 = (66+(66+((6)!/6))) 253 = ((6/6)+(6*(6+(6*6)))) 254 = ((.6...*((6*66)-6))-6) 255 = ((((6*6)+66)/,6)/,6...) 256 = (6*(6*(6-(6/(.6-6))))) 257 = (6+(((6)!+((6)!+66))/6)) 258 = ((6)!-(66+(6*66))) 259 = ((((6*6)+((6)!/6))-0,6)/,6) 260 = ((66+(((6)!/.6)/6))-6)

Viz také

Odkazy