Číslo Betty

Betti čísla jsou posloupností topologických prostorových invariantů . Každá mezera odpovídá posloupnosti Betti čísel . $X$ $\beta _{0}(X),\beta _{1}(X),\tečky$

Nulové číslo Betti se shoduje s počtem připojených komponent; $\beta _{0}(X)$
První číslo Betti intuitivně představuje maximální počet řezů v tomto prostoru, které lze provést bez zvýšení počtu připojených komponent. $\beta _{1}(X)$

Číslo Betty může nabývat nezáporných celočíselných hodnot nebo nekonečna . Pro přiměřeně dobře uspořádaný konečněrozměrný prostor (jako je kompaktní varieta nebo konečný simpliciální komplex ) jsou všechna Betti čísla konečná a počínaje nějakým číslem zmizí.

Termín “Betty čísla” byl vytvořen Henri Poincaré , kdo pojmenoval je po italském matematikovi Enrico Betti .

Definice

k -té číslo Betty , $\beta _{k}(X)=$ $H_{k}(X)$

kde je k -tá skupina homologie prostoru X , která je abelovská , hodnost označuje hodnost této skupiny. $H_{k}(X)$

Ekvivalentně ji lze definovat jako rozměr vektorového prostoru Hk ( X ; Q ), protože homologní skupinou je v tomto případě vektorový prostor nad Q :

$\beta _{k}(X)=$ matná H k ( X ; Q )

Ekvivalenci těchto definic v jednoduchých případech ukazuje teorém o univerzálních koeficientech .

V obecnějších případech lze pro dané pole F definovat k -té Betti číslo s koeficienty v F jako rozměr vektorového prostoru Hk ( X , F ). $\beta _{k}(X,F)$

Související definice

Funkce Poincare prostoru X je generující funkcí posloupnosti Betti čísel prostoru X : $P_{X}(z)=\beta _{0}(X)+\beta _{1}(X)z+\beta _{2}(X)z^{2}+\cdots .$

První Bettiho číslo v teorii grafů

V topologické teorii grafů je první Bettiho číslo grafu G s n vrcholy, m hranami a k spojenými komponentami

\beta _{1}(G)=m-n+k.\

To lze dokázat přímo matematickou indukcí na počtu hran. Nová hrana buď zvýší počet 1 cyklů, nebo sníží počet připojených součástí .

První Bettiho číslo grafu je stejné jako cyklomatické číslo tohoto grafu.

Vlastnosti

Pro konečný simpliciální komplex K jsou homologní grupy Hk ( K ) konečně generovány a mají tedy konečnou hodnost. Jestliže k překračuje maximální rozměr simplexů K , pak jsou odpovídající skupiny homologie nulové. V tomto případě
- Eulerova charakteristika K může být vyjádřena následovně $\chi (K)=\sum _{{i=0}}^{\infty }(-1)^{i}\beta _{i}(K)$
- Funkce Poincare je polynom .
Podle Künnethovy věty pro libovolné dva prostory X a Y platí pro Poincarého funkce následující vztah

P_{X\times Y}=P_{X}P_{Y},

Jestliže X je uzavřená a orientovatelná n - rozměrná varieta , pak podle Poincarého duality pro jakékoli k : $\beta _{k}(X)=\beta _{{nk}}(X).$

Příklady

Posloupnost Betty čísel pro kruh : 1, 1, 0, 0, 0, …; $S^{1}$ Poincarého polynom: . $1+x$
Posloupnost Betti čísel pro dvourozměrný torus : 1, 2, 1, 0, 0, 0, …; $T^{2}$ Poincarého polynom: . $1+2x+x^{2}=(1+x)^{2}$
Posloupnost Betti čísel pro trojrozměrný torus je : 1, 3, 3, 1, 0, 0, 0, … . $T^3$ Poincarého polynom: . $1+3x+3x^{2}+x^{3}=(1+x)^{3}$
Podobně pro n - rozměrný torus je Poincareův polynom , to znamená, že Bettiho čísla jsou binomické koeficienty . $(1+x)^{n}$
Nekonečněrozměrné prostory mohou mít nekonečnou posloupnost nenulových Betti čísel. Například nekonečněrozměrný komplexní projektivní prostor má posloupnost Bettiho čísel 1, 0, 1, 0, 1, ..., která je periodická s periodou 2. V tomto případě Poincarého funkce není polynom, který představuje nekonečná řada, což je racionální funkce: ${\frac {1}{1-x^{2}}}=1+x^{2}+x^{4}+x^{6}+\dotsb .$
- Obecně je Poincareova řada vyjádřena racionální funkcí právě tehdy, když je posloupnost Betti čísel lineárně rekurentní .

Literatura

Dold A. Přednášky o algebraické topologii. — M. : Mir, 1976
Fomenko A. T., Fuchs D. B. Kurz topologie homotopie. — M .: Nauka, 1989