Číslo zvonku

Číslo Bell je počet všech neuspořádaných oddílů množiny -prvků, označovaných , a podle definice se předpokládá, že je . $n$ $B_{n}$ $B_{0}=1$

Hodnoty pro tvoří sekvenci [1] : $B_{n}$ $n=0,1,2,\tečky$

1, 1 , 2 , 5 , 15 , 52 , 203, 877, 4140, 21147, 115975, …

Číselná řada Bell udává počet způsobů, jakými mohou být číslované míčky rozděleny mezi identické krabice. Bellova čísla navíc umožňují zjistit, kolika způsoby existuje rozklad složeného čísla složeného z prvočísel [2] . $n$ $n$ $n$

Čísla zvonů jsou pojmenována po Ericu Bellovi , který o nich psal ve 30. letech 20. století.

Matematické vlastnosti

Bellovo číslo lze vypočítat jako součet Stirlingových čísel druhého druhu :

B_{n}=\sum _{m=0}^{n}S(n,m),

a také nastavit v rekurzivní podobě:

B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{k}.

Pro Bellova čísla platí také Dobinského vzorec [3] :

B_{n}={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}.

Pokud je prvočíslo, pak je Touchardovo srovnání pravdivé: $p$

B_{n+p}\equiv B_{n}+B_{n+1}{\pmod {p))

a obecněji:

B_{n+p^{m}}\equiv mB_{n}+B_{n+1}{\pmod {p}}.

Exponenciální generující funkce Bellových čísel má tvar [4]

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!)}}x^{n}=e^{e^{x}-1}.

Poznámky

↑ OEIS sekvence A000110 _
↑ del Cid, 2014 , Čísla zvonů, str. 105.
↑ Úvod do diskrétní matematiky, 2006 , str. 202.
↑ Úvod do diskrétní matematiky, 2006 , str. 200

Literatura

Lamberto Garcia del Cid. Pozoruhodná čísla: Nula, 666 a další bestie. - M. : "De Agostini", 2014. - T. 21. - 160 s. — (Svět matematiky: ve 40 svazcích). - LBC 22.1 . — MDT 51(0,062) . - ISBN 978-5-9774-0682-6 .
Yablonsky SV Úvod do diskrétní matematiky. - M . : Vyšší škola, 2006. - 392 s. — ISBN 5-06-005683-X .

Odkazy

Bell, E. T. (1934). "Exponenciální polynomy" . Annals of Mathematics . 35 : 258-277. DOI : 10.2307/1968431 . JSTOR 1968431 ..
Bell, E. T. (1938). "Iterovaná exponenciální celá čísla" . Annals of Mathematics . 39 : 539-557. DOI : 10.2307/1968633 . JSTOR 1968633 ..