Jádro (statistiky)

Jádro ( anglicky kernel ) se ve statistice a ekonometrii nazývá okno (funkce váhy). Bayesovské , neparametrické statistiky a teorie rozpoznávání vzorů zacházejí s termínem odlišně.

Neparametrické statistiky

V neparametrické statistice je jádro váhovou funkcí používanou při odhadu distribucí a parametrů ( odhad hustoty jádra , regrese jádra ). Jádra jsou také aplikována v analýze časových řad . Vyhodnocení jádra vyžaduje specifikaci šířky okna.

Definice

Nezáporná integrovatelná funkce K s reálnou hodnotou se nazývá jádro. Ve většině případů je žádoucí, aby funkce splňovala další dva požadavky:

Přídělový systém:

\int _{-\infty }^{+\infty }K(u)\,du=1\,;

Symetrie:

K(-u)=K(u)\quad \forall u\,.

Pokud má funkce první vlastnost, pak výsledkem odhadu hustoty jádra bude skutečně hustota pravděpodobnosti . Druhá vlastnost zajišťuje, že průměr distribuce je roven průměru použitého vzorku.

Pokud je funkce K kernel, pak bude kernel i funkce K *( u ) = λ K (λ u ) pro λ > 0. Tento výsledek umožňuje zvolit měřítko, které je vhodné pro dostupná data.

Běžně používané funkce jádra

V praxi je běžných několik typů jader: uniformní, trojúhelníkové, Epanechnikovo [1] , Gaussian a tak dále.

Níže je tabulka se seznamem běžně používaných jader. Pokud je podpora jádra K omezená, pak pro všechny hodnoty u mimo podporu . $K(u)=0$

Funkce jádra, K ( u )		$\textstyle \int u^{2}K(u)du$	$\textstyle \int K(u)^{2}du$	Účinnost [2] s ohledem na jádro Epanechnikov
Jednotný	$K(u)={\frac {1}{2))$ Dopravce: $\|u\|\leq 1$	${\frac 13}$	$\frac12$	92,9 %
trojúhelníkový	$K(u)=(1-\|u\|)$ Dopravce: $\|u\|\leq 1$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {2}{3))$	98,6 %
Epanechnikovo (parabolický)	$K(u)={\frac {3}{4}}(1-u^{2})$ Dopravce: $\|u\|\leq 1$	${\frac {1}{5}}$	${\frac {3}{5))$	100%
Bisquare	$K(u)={\frac {15}{16}}(1-u^{2})^{2}$ Dopravce: $\|u\|\leq 1$	${\frac {1}{7))$	${\frac {5}{7}}$	99,4 %
Trisquare	$K(u)={\frac {35}{32}}(1-u^{2})^{3}$ Dopravce: $\|u\|\leq 1$	${\frac {1}{9}}$	${\frac {350}{429}}$	98,7 %
Trikubický	$K(u)={\frac {70}{81}}(1-{\left\|u\right\|}^{3})^{3}$ Dopravce: $\|u\|\leq 1$	${\frac {35}{243}}$	${\frac {175}{247}}$	99,8 %
Gaussův	$K(u)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}u^{2}}$	$jeden\,$	${\frac {1}{2{\sqrt {\pi ))))$	95,1 %
kosinus	$K(u)={\frac {\pi }{4}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}u\right)$ Dopravce: $\|u\|\leq 1$	${\displaystyle 1-{\frac {8}{\pi ^{2))))$	${\frac {\pi ^{2}}{16}}$	99,9 %
Logistické	${\displaystyle K(u)={\frac {1}{e^{u}+2+e^{-u))))$	${\frac {\pi ^{2}}{3}}$	${\frac {1}{6}}$	88,7 %
Sigmoid	${\displaystyle K(u)={\frac {2}{\pi }}{\frac {1}{e^{u}+e^{-u))))$	${\frac {\pi ^{2}}{4}}$	${\displaystyle {\frac {2}{\pi ^{2))))$	84,3 %
Silverman [3]	$K(u)={\frac {1}{2}}e^{-{\frac {\|u\|}{\sqrt {2}}}}\cdot \sin \left({\frac { \|u\|}{\sqrt {2}}}+{\frac {\pi }{4}}\right)$	$0$	${\frac {3{\sqrt {2}}}{16}}$	není určeno

Grafy některých jader

Viz také

odhad jaderné hustoty ( odhad hustoty )
Jaderné vyhlazování
Stochastické jádro

Poznámky

↑ Epanechnikov, VA Neparametrický odhad hustoty vícerozměrné pravděpodobnosti // Teorie pravděpodobnosti . Appl. : deník. - 1969. - Sv. 14 , č. 1 . - S. 153-158 . - doi : 10.1137/1114019 .
↑ Účinnost definovaná jako . ${\sqrt {\int u^{2}K(u)\,du))\int K(u)^{2}\,du$
↑ Silverman, BW odhad hustoty pro statistiku a analýzu dat . — Chapman a Hall, Londýn, 1986.

Literatura

Li, Qi; Racine, Jeffrey S. Neparametrická ekonometrie: Teorie a praxe . - Princeton University Press , 2007. - ISBN 0-691-12161-3 .

Zucchini, Walter APLIKOVANÉ TECHNIKY VYHLAZOVÁNÍ Část 1: Odhad hustoty jádra (odkaz není k dispozici) . Získáno 12. srpna 2015. Archivováno z originálu 5. března 2016. (neurčitý)

Comaniciu, D; Meer, P. Mean shift: Robustní přístup k analýze prostoru funkcí // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence : deník. - 2002. - Sv. 24 , č. 5 . - S. 603-619 . - doi : 10.1109/34.1000236 .