0, (9)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 22. února 2022; kontroly vyžadují 18 úprav .

0, (9) nebo 0,999 ... ( , ) („nula a devět v období“) je periodický desetinný zlomek představující číslo 1 . Jinými slovy, $0.{\bar {9}}$ $0.{\tečka {9}}$

1=0{,}(9).

Existuje mnoho důkazů této rovnosti.

Navzdory tomu, že správnost této rovnosti je prokázanou skutečností a ve vědecké komunitě o ní nikdo nepochybuje, mnoho lidí se snaží dokázat opak. V takových důkazech se obvykle dělají aritmetické a logické chyby. Takový horlivý nesouhlas je způsoben tím, že tato rovnost je v rozporu s intuicí. Díky tomu si získal velkou oblibu.

Vysvětlení

Při použití matematické notace je třeba chápat, že notace není předmětem samotné diskuse, ale pouze její označení. Dvě označení mohou dobře označovat totéž. Například záznam a označte stejné číslo. Přestože se jedná o různé položky, definují stejný objekt. Dalším příkladem je a . Tento příklad ukazuje, že různé společné zlomky mohou dát stejné číslo, a proto je zápis jako společný zlomek nejednoznačný. ${\frac {1}{10))$ $0{,}1$ ${\frac {1}{2))$ ${\frac {2}{4))$

Skutečnost, že zápis ve tvaru konečného desetinného zlomku je jednoznačný, je znakem desetinných zlomků. Různé koncové zlomky znamenají různá čísla. Ale tato vlastnost funguje pouze pro poslední případ. V obecném případě (kde jsou povolena konečná i nekonečná desetinná místa) mohou dvě různá desetinná místa představovat stejné číslo. Je to dáno tím, že nekonečné zlomky jsou velmi složitým objektem a mnoho vlastností konečných zlomků na nich nefunguje nebo nefunguje. Příkladem takové nejednoznačné reprezentace je a . Navzdory skutečnosti, že jejich zápis je odlišný, představují stejné číslo, stejně jako představují stejné číslo. $jeden$ $0{,}(9)$ ${\frac {1}{2))$ ${\frac {2}{4))$

Elementární důkazy

Dělení sloupců

Obyčejný zlomek (například ) může být reprezentován v desetinné formě jako konečný nebo periodický desetinný zlomek . Převod z obyčejného zlomku na desetinné číslo lze provést vydělením pomocí sloupce . Po dělení sloupce celého čísla 1 celým číslem 3 dostaneme číslo 0,333 ... (v desítkové soustavě), ve kterém se číslice 3 donekonečna opakují: ${\frac {1}{3))$

{\frac {1}{3}}=0{,}333\ldots

Vynásobte levou stranu 3.

{\frac {1}{3}}\cdot 3=1

Vynásobte pravou stranu 3. Všimněte si, že vynásobením každé trojice 3 dostaneme devět:

0{,}333\ldots \cdot 3=0{,}999\ldots

Takto,

1=0{,}999\ldots

[1] .

Podobně můžete tuto rovnost dokázat rozkladem na desetinný zlomek nikoli , ale například : ${\frac {1}{3))$ ${\frac {1}{9}}$

{\frac {1}{9}}=0{,}111\ldots

{\frac {1}{9}}\cdot 9=1

0{,}111\ldots \cdot 9=0{,}999\ldots

1=0{,}999\ldots

Manipulace s čísly

Předchozí důkaz byl získán pomocí dlouhého dělení, což je algoritmus pro převod běžného zlomku na desetinné číslo. Můžete jít jinou cestou a použít algoritmus pro převod periodického desetinného zlomku na obyčejný.

Označme číslo jako . Při násobení desetinného čísla číslem se číslice nemění, čárka se posune o jednu číslici doprava: $0{,}(9)$ $X$ $deset$

0{,}999\ldots \cdot 10=9{,}999\ldots

to znamená,

10x=9{,}999\ldots

Pokud odečtete od čísla , budou všechny devítky za desetinnou čárkou odečteny a nuly zůstanou: $9{,}999\ldots$ $0{,}999\ldots$

9{,}999\ldots -0{,}999\ldots =9{,}000\ldots =9

Připomeňte si zavedenou notaci a nahraďte jimi levou stranu rovnosti: $X$

10x-x=9

Pak,

9x=9

x=1

No, když jsme označili , tak $X$ $0{,}999\ldots$

0{,}999\ldots =1

Důkladné odůvodnění

Navzdory jednoduchosti a jasnosti výše uvedených důkazů nemají dostatečnou matematickou přesnost a formálnost. První důkaz je založen na skutečnosti, že

0{,}333\ldots \cdot 3=0{,}999\ldots

druhý na

0{,}999\ldots \cdot 10=9{,}999\ldots

Tyto výrazy vypadají jako samozřejmost, ale samozřejmost je klamná, jak lze vidět na příkladu samotné rovnosti . Při strohém podání vyžadují tyto skutečnosti také důkaz. Opravdu, pokud takové podivné rovnosti mohou platit pro nekonečné desetinné zlomky, jak si můžeme být jisti, že pravidla násobení pro ně fungují stejně jako pro konečné? Jednoduchosti a zřejmosti výše uvedených důkazů je dosaženo díky laxnosti uvažování, které je pro kontraintuitivní tvrzení zásadní. $1=0{,}(9)$

Abyste do uvažování zavedli přísnost, musíte nejprve pochopit, co tato notace obecně znamená . Uvažujme nějaký konečný desetinný zlomek, například . Co tento záznam znamená? Tento záznam je zkratkou pro následující výraz: $0{,}(9)$ $127{,}98765$

1\cdot 100+2\cdot 10+7\cdot 1+{\frac {9}{10}}+{\frac {8}{100}}+{\frac {7}{1000}} +{\frac {6}{10000}}+{\frac {5}{100000}}

Číslo, které tento záznam představuje, je výsledkem tohoto výrazu. Takže v matematice je definován samotný koncept desetinného zlomku. Podle této definice je nekonečná desetina přesně stejná zkratka pro takový součet, která se od konečného případu liší pouze tím, že počet členů v ní je nekonečný. To znamená, že například zlomek je zkratka pro $21{,}5(23)$

2\cdot 10+1\cdot 1+{\frac {5}{10}}+{\frac {2}{100}}+{\frac {3}{1000}}+{\frac { 2}{10000}}+{\frac {3}{100000}}+\ldots

Zlomek uvažovaný v tomto článku je zkratkou pro součet $0{,}(9)$

{\frac {9}{10}}+{\frac {9}{100}}+{\frac {9}{1000}}+{\frac {9}{10000}}+{\frac {9}{100000}}+\ldots

Číslo označené notací je podle definice součtem nekonečného počtu výše uvedených termínů. Je třeba chápat, že existuje pouze formální zápis výsledku výše uvedené částky, který nemusí splňovat žádné jiné vlastnosti, než být roven této částce. Ať se tento součet rovná čemukoli, toto číslo se bude rovnat, bez ohledu na intuitivnost tohoto nebo shodu s našimi očekáváními. $0{,}(9)$ $0{,}(9)$

Výsledek sčítání nekonečného počtu termínů v matematické analýze je určen pomocí konceptu limity . Vlastnosti nekonečných součtů se v mnoha ohledech liší od vlastností konečných součtů a vyžadují zvláštní péči při jejich aplikaci.

Posloupnost je geometrická posloupnost, jejíž jmenovatel je , a první člen je . Podle dobře známého vzorce v matematické analýze je součet geometrické posloupnosti , kde je první člen a je jmenovatel. Pak ${\frac {9}{10)),{\frac {9}{100)),{\frac {9}{1000)),{\frac {9}{10000)),\ldots$ $0{,}1$ ${\frac {9}{10}}$ ${\frac {b_{1}}{1-q}}$ $b_{1}$ $q$

0{,}(9)={\frac {9}{10}}+{\frac {9}{100}}+\ldots ={\frac {\dfrac {9}{10}}{ 1-{\dfrac {1}{10}}}}={\frac {\dfrac {1}{9}}{\dfrac {1}{9}}}=1

Tento důkaz je založen pouze na formální definici desetinného zlomku a neobsahuje použití žádných neprokázaných vlastností nekonečných desetinných zlomků.

Takový důkaz (o ekvivalenci čísel 10 a 9,999...) publikoval v roce 1770 Leonhard Euler v publikaci " Elements of Algebra " [2] .

Vzorec pro součet konvergentní geometrické posloupnosti byl znám již před Eulerem. Učebnice Úvod do algebry z roku 1811 také používá geometrickou posloupnost pro číslo 0,(9) [3] . V 19. století vyústila reakce na takové sčítací pravidlo v tvrzení, že součet řady musí být limitou posloupnosti dílčích součtů [4] .

Přísnost elementárních důkazů

Pomocí formální definice desetinného zlomku se lze pokusit dosáhnout dostatečné přesnosti pro první dva důkazy.

Důkaz dlouhým dělením využívá netriviální skutečnost, že dlouhé dělení dává správnou reprezentaci jako periodický zlomek, což zase vyžaduje důkaz. Vlastnost se dokazuje velmi jednoduše pomocí operace násobení číselné řady číslem: $0{,}(3)\cdot 3=0{,}(9)$

0{,}(3)\cdot 3=\left({\frac {3}{10}}+{\frac {3}{100}}+\ldots \right)\cdot 3={\ frac {3}{10}}\cdot 3+{\frac {3}{100}}\cdot 3+\ldots ={\frac {9}{10}}+{\frac {9}{100}} +\ldots =0{,}(9)

Důkaz manipulací s čísly využívá dvou jednoduchých vlastností. První: $0{,}(9)\cdot 10=9{,}(9)$

0{,}(9)\cdot 10=\left({\frac {9}{10}}+{\frac {9}{100}}+\ldots \right)\cdot 10={\ frac {9}{10}}\cdot 10+{\frac {9}{100}}\cdot 10+\ldots =9\cdot 1+{\frac {9}{10}}+\ldots =9{ ,}(9)

Za druhé: . $9{,}(9)-0{,}(9)=9$

9{,}(9)-0{,}(9)=\left(9\cdot 1+{\frac {9}{10}}+{\frac {9}{100}}\ldots \right)-\left({\frac {9}{10}}+{\frac {9}{100}}+\ldots \right)=\left(9\cdot 1+{\frac {9}{ 10}}+{\frac {9}{100}}\ldots \right)-\left(0\cdot 1+{\frac {9}{10}}+{\frac {9}{100}}+ \ldots \right)=(9\cdot 1-0)+\left({\frac {9}{10}}-{\frac {9}{10}}\right)+\left({\frac { 9}{100}}-{\frac {9}{100}}\right)+\ldots =9+0+0+0+\ldots =9

Snaha o přísnost každopádně povede buď k nutnosti manipulace s číselnými řadami, nebo k jiné umělejší definici periodických zlomků. Implementací druhého přístupu může být např. stanovení hodnoty periodických zlomků pomocí algoritmu pro jejich převod na obyčejné. Všechny vlastnosti budou stále vyžadovat důkaz, ale bez nutnosti uchýlit se k teorii číselných řad. Pokus o implementaci druhého přístupu definováním periodických zlomků dělením do sloupce nepovede k požadovanému výsledku, protože rozdělením do sloupce není možné získat zlomek s tečkou . $9$

Ostatní koncová desetinná místa

Podobnou rovnost lze získat pro jakýkoli konečný desetinný zlomek. Dovolit být nějaký konečný desetinný zlomek, . Pak: ${\displaystyle a_{n}\ldots a_{0}{,}a_{-1}\ldots a_{-m))$ $a_{-m}\neq 0$

a_{n}\ldots a_{0}{,}a_{-1}\ldots a_{-m}=a_{n}\ldots a_{0}{,}a_{-1}\ldots [ a_{-m}-1](9)

Hranaté závorky zde znamenají, že zapíšeme číslo rovné . Například , , . Pro jakýkoli koncový desetinný zlomek lze tedy získat druhý desetinný záznam s devíti v období. Funguje to i obráceně: pro každý zlomek s devítkou v období můžete získat konečný záznam. $a_{-m}-1$ $3=2{,}(9)$ $20=19{,}(9)$ $0{,}5=0{,}4(9)$ $0{,}01=0{,}00(9)$

Zajímavý je fakt, že všechny nejasnosti desetinného zápisu jsou tímto případem vyčerpány. Uveďme rigorózní formulaci této skutečnosti. Nejprve musíme striktně definovat, které záznamy považujeme za stejné a které se liší (abychom nepočítali záznamy jako různé, např. a , nebo a ). Dva desetinné záznamy budeme považovat za stejné, pokud mají ve všech číslicích stejné číslice (pokud v záznamu žádná číslice není, pak její hodnotu budeme považovat za nulu). Pak: $2{,}3$ $2{,}30$ $0{,}(3)$ $0{,}(33)$

pokud je číslo nenulové a může být reprezentováno jako konečný desetinný zlomek, pak může být reprezentováno 9 v období
pokud je číslo nenulové a může být reprezentováno 9 v období, pak může být také reprezentováno jako konečný desetinný zlomek

a tyto reprezentace spolu souvisí vztahem

a_{n}\ldots a_{0}{,}a_{-1}\ldots a_{-m}=a_{n}\ldots a_{0}{,}a_{-1}\ldots [ a_{-m}-1](9)

pro taková čísla neexistují žádná jiná desetinná vyjádření.

Všechna ostatní reálná čísla mají pouze jedno desítkové zastoupení.

Porovnání desetinných míst

Pro koncová desetinná místa existuje jednoduchý algoritmus pro jejich porovnání. Jdeme zleva doprava až k první neshodné číslici. Číslo, které má o něco více, je větší. Pokud jsou všechny číslice stejné, pak jsou čísla stejná.

Tento algoritmus již nepracuje s nekonečnými zlomky. Podle tohoto algoritmu by číslo mělo být větší než , ale tato čísla se rovnají. Algoritmus však stále funguje pro nepřísné srovnání: pokud v něm všechny striktní nerovnosti nahradíme nepřísnými, bude fungovat i pro nekonečné zlomky. Tedy pro a bude výstup , což je pravda. $jeden$ $0{,}(9)$ $jeden$ $0{,}(9)$ $1\geq 0{,}(9)$

Pokud je nutné porovnávat nekonečné desetinné zlomky, je třeba vzít v úvahu, že případ devíti v období vyčerpá všechny nejednoznačné reprezentace čísel. Můžete tak jednoduše předem přenést všechna čísla s devítkou v období do konečného záznamu a použít obvyklý srovnávací algoritmus.

Jiné číselné soustavy

Podobnou rovnost lze získat pro jakýkoli poziční číselný systém . Pro číselnou soustavu se základem a úvodní číslicí může být konečný zlomek reprezentován jako $k$ $c=k-1$ ${\displaystyle a_{n}\ldots a_{0}{,}a_{-1}\ldots a_{-m))$ $a_{-m}\neq 0$

a_{n}\ldots a_{0}{,}a_{-1}\ldots a_{-m}=a_{n}\ldots a_{0}{,}a_{-1}\ldots [ a_{-m}-1](c)

Například: , , , . $0{,}(1)_{2}=1$ $0{,}(3)_{4}=1$ $0{,}(F)_{16}=1$ $0{,}0(1)_{2}=0{,}1_{2}=0{,}5$

Všechny vlastnosti jsou zachovány pro ostatní číselné soustavy. Stejně tak lze každý konečný zlomek reprezentovat jako zlomek s tečkou a naopak a všechna zobrazení čísla jsou těmito dvěma reprezentacemi vyčerpána. Zbytek zlomků má pouze jedno zastoupení. Stejné poznámky platí pro bitové srovnání zlomků. $C$

Rysem jiných číselných soustav je, že zlomky reprezentované v desítkové číselné soustavě konečným zlomkem mohou být reprezentovány jako periodické v jiné číselné soustavě a naopak. Takže zlomek , který není reprezentován v desítkové číselné soustavě jako konečný zlomek, je reprezentován v trojčlenu jako . Zlomek v ternárním systému je reprezentován jako . Počet zobrazení určitého čísla jako n-árního zlomku tedy závisí na číselné soustavě. Číslo ve tvaru desetinného zlomku má dvě reprezentace: a , a ve formě trojky pouze jedno: . Číslo ve tvaru desetinného zlomku má jedno zastoupení: , a ve formě trojkové dvojky: a . $0{,}(3)$ $0{,}1_{3}$ $0{,}5$ ${\displaystyle 0{,}(1)_{3))$ ${\frac {1}{2))$ $0{,}5$ $0{,}4(9)$ ${\displaystyle 0{,}(1)_{3))$ ${\frac {1}{3))$ $0{,}(3)$ $0{,}1_{3}$ ${\displaystyle 0{,}0(2)_{3))$

Závislost počtu n-árních zobrazení na číselné soustavě se projevuje pouze u neceločíselných racionálních čísel. Všechna celá čísla kromě nuly mají v libovolné číselné soustavě dvě reprezentace, všechna iracionální a - jedna. $0$

Aplikace

Rovnost má aplikace například v elementární teorii čísel . V roce 1802 H. Goodwin publikoval pozorování, které objevil při dělení čísel prvočísly . Například:

${\frac {1}{7))$ = 0,142857142857 ... a _ _

142 + 857 = 999;

${\frac {1}{73}}$ = 0, 0136 9863 0136 9863 ... a

0136 + 9863 = 9999.

Midi (ME Midy) v roce 1836 zobecnil pozorovací data na Midiho teorém .

V populární kultuře

Autor novinové rubriky " The Straight Dope " dokazuje rovnici 1 = 0,999... s 1 ⁄ 3 a limity a mluví o nedorozumění:

Nižší primát stojí proti nám a říká: ,999~ ve skutečnosti nepředstavuje číslo , ale proces . Abychom našli číslo, musíme tento proces zastavit. A v tomto okamžiku se rovnost ,999~ = 1 rozpadá.

- Nesmysl [5] .

Otázka rovnosti 1 = 0,999... se během prvních sedmi let na fórech Battle.net stala tak žhavým tématem , že Blizzard Entertainment vydal „tiskovou zprávu“ ke Dni bláznů 2004:

Velmi rádi knihu na toto téma jednou provždy uzavřeme. Byli jsme svědky úzkosti a úzkosti ohledně toho, zda se .999~ rovná 1 nebo ne, a jsme hrdí na to, že můžeme předložit následující důkaz, který našim zákazníkům tento problém řeší [6] .

Následují důkazy založené na limitách a násobení číslem 10.

Viz také

Poznámky

↑ Porovnejte s binární verzí stejného argumentu v Calculus, kterou usnadnil Silvanus P. Thompson (St. Martin 's Press, New York, 1998, ISBN 0-312-18548-0 ).
↑ Strana 179 Eulerovy knihy.
↑ Grattan-Guinness, strana 69; strana 177 knihy Bonnycastle.
↑ Viz například strana 706 publikace J. Stewart, strana 61 publikace Rudin, strana 213 publikace Protter a Morrey, strana 180 publikace Pugh, strana 31 publikace JB Conway.
↑ Cecil Adams . Nekonečná otázka: Proč není 0,999~ = 1? (anglicky) (nedostupný odkaz) . Přímá droga . Chicago Reader (11. července 2003). Získáno 6. září 2006. Archivováno z originálu 18. února 2012.
↑ Blizzard Entertainment:Tiskové zprávy . Získáno 17. června 2015. Archivováno z originálu 17. června 2015.