K(G,n) prostor

$K(G,n)$ prostory (nebo Eilenberg-MacLaneovy prostory) jsou topologické prostory s jedinečnou netriviální homotopickou skupinou v dimenzi . $G$ $n$

Pojmenováno po Samuelovi Eilenbergovi a Saundersovi McLaneovi , kteří o těchto prostorech uvažovali koncem 40. let.

Definice

Nechť je skupina a je kladné celé číslo. Topologický prostor spojený s cestou se nazývá prostor, pokud má -tou homotopickou skupinu izomorfní k , a všechny ostatní homotopické skupiny jsou triviální. $G$ $n$ $X$ $K(G,n)$ $n$ $\pi _{n}(X)$ $G$ $X$

Jestliže , pak musíme předpokládat, že je komutativní. $n>1$ $G$

Existence a jedinečnost

Daný a příkladný prostor lze budovat ve fázích, jako je CW-komplex , počínaje hromadou dimenzionálních koulí , jednou pro každý generátor skupiny , a poté přidáním buněk (možná nekonečný počet) vyšších dimenzí k zabití. všechny nepotřebné homotopické skupiny počínaje dimenzí . $G$ $n$ $K(G,n)$ $n$ $G$ $n+1$

Příklady

Kruh je prostor. $\mathbb {S} ^{1}$ $K(\mathbb {Z} ,1)$

Nekonečně-dimenzionální reálný projektivní prostor je prostor. ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty ))$ $K(\mathbb {Z} _{2},1)$

Součet kytice k kruhů je pro volnou skupinu s k generátory . ${\displaystyle \textstyle \bigvee _{i=1}^{k}\mathbb {S} ^{1))$ $K(G,1)$ $G$

Doplňkem jakéhokoli uzlu v trojrozměrné sféře je prostor; vyplývá to z asféričnosti uzlů – jím v roce 1957 dokázaná věta Christose Papakiriakopoulose . $\mathbb {S} ^{3}$ $K(G,1)$

Libovolné kompaktní spojené potrubí M s kladným průřezovým zakřivením je , kde je základní skupina M. $K(\Gamma ,1)$ $\Gamma =\pi _{1}(M)$
- Totéž platí pro lokálně CAT(0) prostory .

Nekonečně-dimenzionální komplexní projektivní prostor je prostor. Jeho cohomologický kruh je volným kruhem polynomů s jedním generátorem v dimenzi 2. Tento generátor může být reprezentován v de Rhamově kohomologii pomocí Fubini-Study 2-form . $\mathbb {CP} ^{\infty }$ $K(\mathbb {Z} ,2)$ $\mathbb {Z} [x]$ $X$

Vlastnosti

$K(G,n)$ prostor je jedinečný až do slabé homotopické ekvivalence .

Produktem a prostorů je prostor. $K(G,n)$ $K(H,n)$ $K(G\times H,n)$

Předpokládejme, že se jedná o prostor a je to libovolný CW komplex. Pak pro množinu tříd homotopického mapování existuje přirozená bijekce s cohomologickou grupou . Toto tvrzení je analogické s Yonedovým lemmatem v teorii kategorií . $X$ $K(G,n)$ $K$ $K\to X$ $H^{n}(K,G)$

Prostor smyček prostoru prostoru je prostor. $K(G,n)$ $K(G,n-1)$

Viz také

Asférický prostor je K(G,1) prostor.
Homologická sféra

Literatura

Fuchs D. B., Fomenko A. T., Gutenmakher V. L. Homotopy topologie. - M .: MGU, 1969.

Eilenberg, Samuel & MacLane, Saunders (1945), Relations between homology and homotopy groups of spaces , Annals of Mathematics , (Second Series) vol. 46 (3): 480–509 , DOI 10.2307/1969165

Eilenberg, Samuel & MacLane, Saunders (1950), Vztahy mezi homologií a homotopickými skupinami prostorů. II , Annals of Mathematics , (Second Series) vol. 51 (3): 514–533 , DOI 10.2307/1969365

Morito, Kiiti. Čechova kohomologie a krycí dimenze pro topologické prostory (anglicky) // Fundamenta Mathematicae : journal. - 1975. - Sv. 87 . - str. 31-52 . - doi : 10.4064/fm-87-1-31-52 .

Papakyriakopoulos, CD On Dehn's Lemma and the Asphericity of Knots (anglicky) // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America : journal. - 1957. - Sv. 43 , č. 1 . - S. 169-172 . - doi : 10.1073/pnas.43.1.169 . — PMID 16589993 .

Papakyriakopoulos, CD On Dehn's Lemma and the Asphericity of Knots (anglicky) // Ann. Matematika. : deník. - 1957. - Sv. 66 , č. 1 . - str. 1-26 . - doi : 10.2307/1970113 .