K-prostor (topologie)

k - prostor(kompaktně generovaný prostor) jetopologický prostor, ve kterém jsou uzavřeny všechny množiny, jehož průnik s každoukompaktnípodmnožinou tohoto prostoru je uzavřen. Často se k tomu přidává prostor Hausdorffův

Definice

Topologický prostor se nazývá k - prostor, pokud je jeho topologie konzistentní s rodinou všech jeho kompaktních podprostorů, to znamená, pokud je pro každou podmnožinu splněna jedna z následujících ekvivalentních podmínek: $X$ $A\podmnožina X$

Množina je uzavřena právě tehdy, když je v této množině uzavřen kterýkoli z jejích průniků s každou kompaktní množinou . $A$ $X$ $A\cap K$ $K\podmnožina X$ $K$
Množina je otevřená právě tehdy, když je v této množině otevřen každý její průsečík s každou kompaktní množinou . $A$ $X$ $A\cap K$ $K\podmnožina X$ $K$

Často se k - prostorem rozumí pouze Hausdorffovy prostory , které splňují výše uvedenou definici.

Pro Hausdorffovy prostory lze dát následující ekvivalentní definici k - prostoru: Hausdorffův prostor je k - prostor právě tehdy, když je obrazem nějakého lokálně kompaktního Hausdorffova prostoru pod faktorovým mapováním (to znamená, že je homeomorfní). k nějakému podílovému prostoru lokálně kompaktního Hausdorffova prostoru). $X$

Zobrazení v k - prostorech

Zobrazení k - prostoru do libovolného topologického prostoru je spojité tehdy a jen tehdy, je-li jakékoli omezení tohoto zobrazení na kompaktní množinu spojité. $f\dvojtečka X\to Y$ $X$ $Y$ $f|_{K}$ $K$

Spojité zobrazení libovolného topologického prostoru do k - prostoru je uzavřeno ( open , kvocient ) právě tehdy, když je pro každou kompaktní podmnožinu z rozsahu uzavřeno omezení tohoto zobrazení (respektive otevřeno, kvocient). $f\dvojtečka X\to Y$ $X$ $Y$ $K$ $Y$ $f_{K}\dvojtečka f^{{-1}}(K)\to K$

Jsou-li dána dvě faktoriální zobrazení a , jejichž definiční obory a součin jejich rozsahů jsou k - prostory, pak kartézský součin těchto zobrazení je faktoriální zobrazení. $f_{1}\dvojtečka X_{1}\to Y_{1}$ $f_{2}\dvojtečka X_{2}\to Y_{2}$ $X_{1}$ $X_{2}$ $Y_{1}\krát Y_{2}$ $f_{1}\krát f_{2}\dvojtečka X_{1}\krát X_{2}\do Y_{1}\krát Y_{2}$

Úspora operací

Každý otevřený a každý uzavřený podprostor Hausdorffova k - prostoru je k - prostor. Libovolný podprostor Hausdorffova k - prostoru však nemusí být k - prostorem.

Součet rodiny topologických prostorů je k -prostor právě tehdy, když všechny prostory z této rodiny jsou k -prostory.

Produktem Hausdorffova k -prostoru a lokálně kompaktního Hausdorffova prostoru je k - prostor. Navíc součin dvou k -prostorů není obecně k - prostor.

Hausdorffův obraz Hausdorffova k - prostoru pod faktoriálním (zejména otevřeným nebo uzavřeným) zobrazením je k - prostor. Navíc obraz Hausdorffova k - prostoru pod libovolným spojitým zobrazením nemusí být k -prostorem , i když je naprosto normální .

Vztah k jiným třídám prostorů

Každý Cech-úplný prostor (zejména každý lokálně kompaktní Hausdorffův prostor, a tedy každá topologická varieta ) je k - prostor.

Každý sekvenční prostor (zejména jakýkoli prostor s prvním axiomem počitatelnosti , a tedy jakýkoli metrický prostor ) je k - prostor.

Jakýkoli prostor bodově spočetného typu je k - prostor.

Každý CW komplex je k - prostor.

Literatura

Engelking, R. Obecná topologie. — M .: Mir , 1986. — 752 s.
Kelly, J. L. Obecná topologie. — M .: Nauka, 1968.
Spanier, E. Algebraická topologie. — M .: Mir , 1971. — 680 s.