N-grupa (teorie grup)

N-skupina je skupina, jejíž všechny lokální podskupiny (tj. normalizátory netriviálních p - podskupin) jsou řešitelné . Thompson klasifikoval nerozhodnutelné případy a přitom pracoval na nalezení všech minimálních konečných jednoduchých grup.

Jednoduché N-skupiny

Jednoduché N-skupiny byly klasifikovány Thompsonem [1] [2] [3] [4] [5] [6] v sérii 6 článků o celkovém rozsahu asi 400 stran.

Jednoduché N-grupy se skládají ze speciálních lineárních grup , Suzukiho grup , unitární grupy , střídavé grupy A 7 , Mathieuovy grupy M 11 a sýkory grupy . (Skupina Tits byla v Thompsonově původním článku v roce 1968 vynechána, ale Hearn poukázal na to, že jde také o jednoduchou N-skupinu). Obecněji Thompson ukázal, že jakákoli neřešitelná N-skupina je podskupinou Aut( G ) obsahující G pro nějakou jednoduchou N- skupinu G. $\mathrm {PSL} _{2}(q),\mathrm {PSL} _{3}(3)$ $\mathrm {Sz} (2^{2n+1})$ $\mathrm {U} _{3}(3)$

Gorenstein a Lyons [7] zobecnili Thompsonovu větu na případ grup, jejichž všechny 2-lokální podgrupy jsou řešitelné. Jediné jednoduché grupy přidané jsou unitární grupy U 3 ( q ).

Důkaz

Gorenstein [8] podává shrnutí Thompsonovy klasifikace N-skupin.

Prvočísla rozdělující pořadí skupin jsou rozdělena do čtyř tříd ${\displaystyle \pi _{1},\pi _{2},\pi _{3},\pi _{4))$

$\pi_{1}$ je množina prvočísel p takových, že Sylow p -podskupina je netriviální a cyklická.
$\pi _{2}$ je množina prvočísel p taková, že Sylow p -podskupina P je necyklická, ale SCN 3 ( P ) je prázdná
$\pi _{3}$ je množina prvočísel p takových, že Sylow p -podskupina P má neprázdnou SCN 3 ( P ) a P normalizuje netriviální abelovskou podskupinu řádu coprime na p .
${\displaystyle \pi _{4))$ je množina prvočísel p taková, že Sylow p -podskupina P má neprázdnou SCN 3 ( P ), ale nenormalizuje netriviální abelovskou podskupinu řádu coprime k p .

Důkaz je rozdělen do několika případů v závislosti na tom, do které z těchto čtyř tříd patří prvočíslo 2, a také na celém čísle e , což je největší celé číslo, pro které existuje elementární abelovská podskupina hodnosti e normalizovaná pomocí netriviální 2-podskupina.

1968 Thompson [1] přednesl obecný úvod, uvedl hlavní větu a dokázal předběžná lemmata.
1970 Thompson [2] popsal skupiny E 2 (3) a S 4 (3) (v Thompsonově zápisu jde o výjimečnou skupinu G 2 (3) a symplektickou skupinu Sp 4 (3)), které nejsou N- grup, ale jejich popis je nutný k prokázání hlavní věty.
1971 Thompson [3] případ zvažoval . Věta 11.2 ukazuje, že v případě, že je grupa grupou nebo . Tato možnost je vyloučena tím, že se ukáže, že jakákoli taková skupina musí být C-skupinou, a pomocí Suzukiho klasifikace C-skupin je ověřeno, že žádná ze skupin nalezených Suzuki nesplňuje tuto podmínku. ${\displaystyle 2\notin \pi _{4))$ ${\displaystyle 2\in \pi _{2))$ $\mathrm {PSL} _{2}(q),\mathrm {M} _{11},A_{7},\mathrm {U} _{3}(3)$ $\mathrm {PSL} _{3}(3)$ ${\displaystyle 2\in \pi _{3))$
1973 Thompson [4] [5] zvažoval případy a nebo . Ukázal, že buď G je C-skupina , takže je to Suzukiho grupa, nebo vyhovuje popisu skupin E 2 (3) a S 4 (3) v jeho druhém článku, které nejsou N-skupinami. ${\displaystyle 2\in \pi _{4))$ $e\geqslant 3$ $e=2$
1974 Thompson [5] zvažoval případ a e = 1, kde jediným možným případem je, že G je skupina C nebo skupina sýkor . ${\displaystyle 2\notin \pi _{4))$

Důsledky

Minimální jednoduchá grupa je necyklická jednoduchá grupa, jejíž všechny správné podgrupy jsou řešitelné. Kompletní seznam minimálních jednoduchých skupin poskytl Thompson [9]

PSL 2 (2 p ), p je prvočíslo.
PSL 2 (3 p ), p je liché prvočíslo.
PSL 2 ( p ), p > 3 prvočíslo, srovnatelné s 2 nebo 3 mod 5
Sz(2 p ), p je liché prvočíslo.
PSL 3 (3)

Jinými slovy, necyklické konečné jednoduché grupy musí mít subfaktor izomorfní k jedné z těchto grup.

Poznámky

↑ 12 Thompson , 1968 .
↑ 12 Thompson , 1970 .
↑ 12 Thompson , 1971 .
↑ 12 Thompson , 1973 .
↑ 1 2 3 Thompson, 1974 .
↑ Thompson, 1974b .
↑ Gorenstein, Lyons, 1976 .
↑ Gorenstein, 1980 , str. 16.5.
↑ Thompson, 1968 , s. důsledek 1.

Literatura

Gorenstein D., Lyons R. Neřešitelné konečné grupy s řešitelnými 2-lokálními podgrupami // Journal of Algebra . - 1976. - T. 38 . — S. 453–522 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/0021-8693(76)90233-7 .
Gorenstein D. Konečné skupiny. - New York: Chelsea, 1980. - ISBN 978-0-8284-0301-6 .
John G. Thompson. Neřešitelné konečné grupy, jejichž všechny místní podskupiny jsou řešitelné // Bulletin Americké matematické společnosti . - 1968. - T. 74 . — S. 383–437 . — ISSN 0002-9904 . - doi : 10.1090/S0002-9904-1968-11953-6 .
John G. Thompson. Neřešitelné konečné grupy, jejichž všechny lokální podgrupy jsou řešitelné. II // Pacific Journal of Mathematics . - 1970. - T. 33 . — S. 451–536 . — ISSN 0030-8730 . - doi : 10.2140/pjm.1970.33.451 .
John G. Thompson. Neřešitelné konečné grupy, jejichž všechny lokální podgrupy jsou řešitelné. III // Pacific Journal of Mathematics . - 1971. - T. 39 . — S. 483–534 . — ISSN 0030-8730 . - doi : 10.2140/pjm.1971.39.483 .
John G. Thompson. Neřešitelné konečné grupy, jejichž všechny lokální podgrupy jsou řešitelné. IV // Pacific Journal of Mathematics . - 1973. - T. 48 . — S. 511–592 . — ISSN 0030-8730 . - doi : 10.2140/pjm.1973.48.511 .
John G. Thompson. Neřešitelné konečné grupy, jejichž všechny lokální podgrupy jsou řešitelné. V // Pacific Journal of Mathematics . - 1974. - T. 50 . — S. 215–297 . — ISSN 0030-8730 . - doi : 10.2140/pjm.1974.50.215 .
John G. Thompson. Neřešitelné konečné grupy, jejichž všechny lokální podgrupy jsou řešitelné. VI // Pacific Journal of Mathematics . — 1974b. - T. 51 . — S. 573–630 . — ISSN 0030-8730 . - doi : 10.2140/pjm.1974.51.573 .