P-skupina

p -grupa - grupa, ve které je řád každého prvku mocninou prvočísla p .

Příklady

Skupina cyklického řádu a přímé produkty těchto skupin. $p^{n}$
- Každá komutativní p - grupa je izomorfní k jednomu z těchto příkladů.
Heisenbergova grupa modulo je nejjednodušším příkladem nekomutativní p - grupy. $p$
Grigorčukova grupa je příkladem nekonečné 2-grupy.

Vlastnosti

Středem netriviální konečné p - grupy je netriviální grupa. $Z(P)$ $P$
- Zejména všechny p-skupiny jsou nilpotentní .
- Navíc, pokud
normální podskupina v p - skupině , pak . $H$ $P$ $|H\cap Z(P)|>1$
- Tuto vlastnost získáme ze středové věty, vezmeme-li v úvahu, že jakákoli podgrupa p -grupy je sama p -grupou a že normální podgrupa je při konjugacích invariantní.

Je-li grupa konečná, pak je její řád také roven nějaké mocnině p (to vyplývá z první Sylowovy věty ).

Navíc každá skupina řádu je p -grupa (vyplývá z Legendreovy věty ). $p^{n}$

Pro , počet neizomorfních řádových skupin je asymptoticky roven

n\rightarrow\infty

p^{n}

p^{{\frac {2}{27}}\cdot n^{3}+O(n)}

.

Viz také

Problém Burnside

Literatura

Kurosh A. G. Teorie grup . - 3. vyd. — M.: Nauka , 1967. — 648 s. — ISBN 5-8114-0616-9 . (Ruština)
Hala M. Teorie grup. - M .: Nakladatelství zahraniční literatury, 1962.
Gorenstein D. Konečné skupiny - NY: Harper and Row, 1968.