R funkce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 1. května 2016; kontroly vyžadují 5 úprav .

R-funkce ( Rvachevova funkce ) - číselná funkce reálných proměnných, jejíž znaménko je zcela určeno znaménky jejích argumentů s odpovídajícím rozdělením číselné osy na intervaly a . R-funkce byly poprvé představeny v pracích V. L. Rvacheva [1] [2] [3] . Na rozdíl od klasické analytické geometrie se teorie R-funkcí zabývá syntézou problémů a rovnic se známými vlastnostmi. [čtyři]

Ke studiu R-funkcí je třeba znát nejen klasickou analytickou geometrii, ale také teorii množin.

Definice

Číselná funkce se nazývá R-funkce, pokud existuje doprovodná booleovská funkce se stejným počtem argumentů jako

Pojem R-funkce je zaveden obdobně pro počet argumentů

Každá R-funkce má jedinečnou doprovodnou booleovskou funkci. Opak není pravdou: stejná booleovská funkce odpovídá nekonečnému počtu (větvi) R-funkcí.

Množina R-funkcí je uzavřená ve smyslu superpozice R-funkcí. Systém R-funkcí se nazývá dostatečně úplný , jestliže množina všech superpozic prvků (množina -realizovatelných funkcí) má s každou větví množiny R-funkcí neprázdný průsečík . Postačující podmínkou úplnosti je úplnost systému odpovídajících doprovodných booleovských funkcí.

Kompletní systémy R-funkcí

Nejčastěji používaným kompletním systémem R-funkcí je systém (pro ):

Když máme systém :

Když máme systém :

V druhém případě se R-funkce konjunkce a disjunkce shodují s odpovídající t-normou a t-konormou fuzzy logiky :

Aplikace

Pomocí R-funkcí je možné sestavit v implicitní podobě rovnice hranic složených oborů ze známých rovnic jednoduchých oborů. Popis hranice komplexní oblasti formou jediného analytického výrazu umožňuje vytvářet struktury pro řešení okrajových úloh matematické fyziky , které jsou závislé na neurčitých složkách a přesně splňují okrajové podmínky . Nejisté složky takových struktur lze pak nalézt některou z variačních nebo projekčních metod řešení okrajových úloh (kolokace, Rayleigh-Ritz , Bubnov-Galyorkin-Petrov , nejmenší čtverce ). Metoda řešení okrajových úloh pro parciální diferenciální rovnice založená na teorii R-funkcí se nazývá strukturní metoda R-funkcí nebo v zahraniční literatuře RFM (R-Functions Method).

R-funkce lze považovat za nástroj nekonečně hodnotné logiky nebo fuzzy logiky .

R-funkce jsou využívány (především žáky vědecké charkovské školy) při řešení široké třídy problémů matematické fyziky ( teorie pružnosti [5] [6] [7] [8] [9] , elektrodynamika [10] [ 11] [12] , teorie tepelné vodivosti [13] [14] [15] [16] ), dále ve vícerozměrném digitálním zpracování signálu a obrazu [17] , počítačové grafice a dalších oblastech.

Aplikace teorie R-funkcí a vlnek na řešení okrajových úloh matematické fyziky

V díle profesora V.F. Kravčenko a jeho student A.V. Yurin [12] navrhl a zdůvodnil novou metodu založenou na teorii R-funkcí a WA-systémů funkcí [18] [19] [20] (vlnky postavené na bázi atomárních funkcí), pomocí Galerkin-Petrovovy variace zásada.

Při zvažování široké třídy okrajových úloh různé fyzikální povahy je nutné řešit parciální diferenciální rovnice, ve kterých má zkoumaná oblast komplexní konfiguraci. V takových případech se zpravidla používají numerické metody: mřížka (metoda konečných diferencí, konečných prvků, hraniční prvky), variační a promítací metody (Ritzova, Bubnov-Galerkin-Petrovova metoda, kolokace, Treftts, metoda nejmenších čtverců, metoda fiktivních oblastí , R-funkce). Každý z nich má však své výhody a nevýhody. Mřížkové metody tedy mají vysokou účinnost algoritmu (kvůli čemuž jsou široce používány), ale nezohledňují přesně geometrii studovaného objektu. V případě variačních metod není vždy možné sestrojit bázové funkce, které by splňovaly všechny požadované podmínky. Proto je jejich použití omezené. Vyzdvihnout je třeba především metodu R-funkcí [11] , která má geometrickou flexibilitu a univerzálnost vzhledem ke zvolené metodě minimalizace funkcionálu . Aplikace tohoto přístupu vyžaduje značné výpočetní náklady. To je způsobeno použitím strukturních vzorců, které jsou založeny na funkcích oblasti konstruované pomocí R-operací. Takové funkce mohou mít složitou strukturu a pro výpočet jejich integrálů v oblasti nestandardního tvaru je nutné použít kvadraturní vzorce s vysokou přesností. Waveletové báze umožňují obejít výše uvedené nevýhody díky svým jedinečným vlastnostem [21] [22] a vyvinout adaptivní výpočetní schéma bez použití integrační operace. Tento přístup je možný díky zavedení speciálních koeficientů, které odrážejí diferenciální a integrální charakteristiky báze, stejně jako koeficienty vlnkové expanze doménových funkcí, okrajové podmínky a pravou stranu rovnice. Hlavním nástrojem pro implementaci nové metody založené na R-funkcích a vlnkách je Galerkin-Petrovovo schéma [23] [24] pro řešení parciálních diferenciálních rovnic.

V pracích [12] [20] je na příkladu řešení okrajových úloh eliptického typu ukázána účinnost metody R-funkcí (funkce V.L. Rvačeva) v kombinaci s WA-systémy funkcí [18] , které odstraňuje všechny níže uvedené nevýhody.

Poznámky

  1. ↑ Rvachev V. L. Geometrické aplikace algebry logiky. - Kyjev: Tekhnika, 1967.
  2. ↑ Rvachev V. L. Metody algebry logiky v matematické fyzice. - Kyjev: Nauk. myšlenka, 1974.
  3. ↑ Rvachev V. L. Teorie R-funkcí a některé její aplikace. - Kyjev: Nauk. myšlenka 1982.
  4. ↑ Kaledin, Valerij Olegovič. Teorie R-funkcí: učebnice pro vysoké školy oboru Aplikovaná matematika a informatika: rek. UMO univerzity Ruské federace / V. O. Kaledin, E. V. Reshetnikova, V. B. Gridchina; Kemerovský stát. un-t, Novokuzněck in-t (fil.). - 2. vyd., přepracováno. a doplňkové - Novokuzněck: NFI KemSU, 2017. - 119 s.
  5. ↑ Rvachev V. L., Kurpa L. V., Sklepus N. G., Uchishvili L. A. Metoda R-funkcí v problémech ohybu a vibrací desek složitého tvaru. - Kyjev: Naukova Dumka, 1973.
  6. ↑ Rvachev V. L., Protsenko V. S. Kontaktní problémy teorie pružnosti pro neklasické oblasti. - Kyjev: Naukova Dumka, 1977.
  7. ↑ Rvachev V. L., Kurpa L. V. R-funkce v úlohách teorie desek. - Kyjev: Naukova Dumka 1987.
  8. ↑ Rvachev V. L., Sinekop N. S. Metoda R-funkcí v problémech teorie pružnosti a plasticity. - Kyjev: Naukova Dumka 1990.
  9. ↑ Pobedrya B. E. Numerické metody v teorii pružnosti a plasticity. - M .: Nakladatelství Moskevské státní univerzity, 1995.
  10. ↑ Kravchenko V. F., Basarab M. A. Booleovská algebra a aproximační metody v okrajových úlohách elektrodynamiky. — M.: Fizmatlit, 2004.
  11. ↑ 1 2 Kravchenko VF, Rvachev VL Algebra logiky, atomárních funkcí a vlnek ve fyzikálních aplikacích. — M.: Fizmatlit, 2006.
  12. ↑ 1 2 3 V.F. Kravčenko, A.V. Yurin. Aplikace teorie R-funkcí a vlnek na řešení okrajových úloh eliptického typu. Elektromagnetické vlny a elektronické systémy. 2009. V.14. číslo 3. str. 4-39.
  13. ↑ Rvachev V. L., Slesarenko A. P. Algebro-logické a projekční metody v problémech přenosu tepla. - Kyjev: Nauk. myšlenka, 1978.
  14. ↑ Basarab M. A., Kravchenko V. F., Matveev V. A. Matematické modelování fyzikálních procesů v gyroskopii. - M .: Radiotechnika, 2005.
  15. ↑ Basarab M. A., Kravchenko V. F., Matveev V. A. Metody modelování a digitálního zpracování signálu v gyroskopii. — M.: Fizmatlit, 2008.
  16. ↑ Matveev V. A., Lunin B. S., Basarab M. A. Navigační systémy založené na vlnových gyroskopech v pevné fázi. — M.: Fizmatlit, 2008.
  17. ↑ Digitální zpracování signálu a obrazu v radiofyzikálních aplikacích / Ed. V. F. Kravčenko. — M.: Fizmatlit, 2007.
  18. ↑ 1 2 V.F. Kravčenko, O.S. Labunko, A.M. Lehrer, G.P. Sinyavskij. Kapitola 3, 4 // Výpočtové metody v moderní radiofyzice. Pod. vyd. VF. Kravčenko. — Moskva: Fizmatlit, 2009.
  19. ↑ Kravchenko V.F., Kravchenko O.V., Pustovoit V.I., Churikov D.V., Yurin A.V. Aplikace rodin atomů, WA-systémů a R-funkcí v moderních problémech radiofyziky. Část II // Radiotechnika a elektronika: Recenze. - 2015. - č. T. 60. č. 2 . — S. 109-148 .
  20. ↑ 1 2 Kravchenko V.F., Kravchenko O.V., Pustovoit V.I., Churikov D.V., Yurin A.V. Aplikace rodin atomů, WA-systémů a R-funkcí v moderních problémech radiofyziky. Část IV // Radiotechnika a elektronika. - 2015. - T. 60 , č. 11 . - S. 1113-1152 .
  21. ↑ Dobeshi I. Deset přednášek o vlnkách. Iževsk: Výzkumné centrum "Pravidelná a chaotická dynamika", 2001.
  22. ↑ Novikov I.Ya., Protasov V.Yu., Skopina M.A. Teorie rozstřiku. Moskva: Fizmatlit, 2006.
  23. ↑ Aubin J.P. Přibližné řešení eliptických okrajových úloh. M.: Mir, 1972.
  24. ↑ Krasnoselsky M.A., Vainenko G.M., Zabreiko P.P., Rutitsky Ya.B., Stetsenko V.Ya. Přibližné řešení operátorových rovnic. Moskva: Nauka, 1969.

Viz také

Odkazy