Sgn

sgn (signum, z latiny signum - znak) je po částech konstantní funkce skutečného argumentu. Určeno. Definováno takto: $\operatorname{sgn} x$

\operatorname{sgn} x={\begin{cases}\ \ 1,&x>0\\\ \ 0,&x=0\\-1,&x<0\end{cases}}

Funkce není elementární .

Často používaná reprezentace

\operatorname {sgn} x={\frac {d}{dx}}|x|

V tomto případě derivace modulu na nule, která, přísně vzato, není definována, je dále definována aritmetickým průměrem odpovídajících derivací vlevo a vpravo .

Funkce má aplikace v teorii zpracování signálu , matematické statistice a dalších oblastech matematiky, kde je vyžadována kompaktní notace k označení znaménka čísla.

Historie a označení

Funkci zavedl Leopold Kronecker v roce 1878, nejprve ji označil jinak: . V roce 1884 potřeboval Kronecker použít v jednom článku spolu s , funkci „ celočíselná část “, která byla také označena hranatými závorkami. Aby se předešlo zmatkům, zavedl Kronecker notaci , která (bez tečky před argumentem) byla ve vědě opravena. Někdy je funkce označována jako . $\operatorname{sgn} x$ $[X]$ $\operatorname{sgn}$ $sgn.x$ $\operatorname {sign} x$

Vlastnosti funkce

Definiční doména : . $\mathbb {R}$
Rozsah hodnot : . $\{-1;0;+1\}$
Hladký ve všech bodech kromě nuly.
Funkce je lichá .
Bod je bodem nespojitosti prvního druhu, protože limity vpravo a vlevo od nuly jsou stejné . $x=0$ $+1$ $-jeden$
$|x|=\název operátora{sgn} x\cdot x$ a pro . Jinými slovy, $x=\název operátora{sgn} x\cdot |x|$ $\forall x\in {\mathbb {R}}$

\operatorname {sgn} x={x \over |x|}={|x|  \over x}

v .

x \ne 0

${\frac {d}{dx}}\operatorname{sgn} x=2\cdot \delta (x)$ , kde je funkce Dirac delta . $\delta(x)$
$\operatorname{sgn} x\cdot \operatorname{sgn} y=\operatorname{sgn}(x\cdot y)$ .
$\operatorname{sgn} x={\frac {2}{\pi }}\int _{{0}}^({\infty }}{\frac {\sin tx}{t}}dt$ .

Zobecnění funkcí pro komplexní argument

Výkon

\operatorname {sgn} z={\begin{cases}{\frac {z}{|z|}},&z\neq 0\\0,&z=0\end{cases}}

dává jedno z možných zobecnění funkce signum na množinu komplexních čísel . V tomto případě , kde je argument komplexního čísla . Když je výsledkem funkce bod jednotkového kruhu nejblíže číslu . Smyslem tohoto zobecnění je použít vektor poloměru jednotky délky k zobrazení směru na komplexní rovině odpovídající číslu . Stejný směr v polárních souřadnicích definuje úhel . Neurčitý směr odpovídající číslu je vyjádřen nulovou hodnotou funkce. Takto je například definována funkce signum ve standardní knihovně komplexních čísel v jazyce Haskell [1] . ${\frac {z}{|z|}}=\cos \varphi +i\sin \varphi =e^{i\varphi }$ $\varphi =\operatorname {Arg} z$ $z$ $z\neq 0$ $\operatorname {sgn} z$ $z$ $z$ $\varphi$ $z=0$

Další verze zobecnění funkce, označená jako , je definována takto: $\operatorname {csgn}$

\operatorname {csgn} (z)={\begin{cases}1,&\operatorname {Re} z>0\\-1,&\operatorname {Re} z<0\\\operatorname {sgn} \operatorname {Im} z&\operatorname {Re} z=0\end{cases}}

Toto zobecnění se využívá např. v aplikacích Mathcad a Maple [2] .

Viz také

Funkce Heaviside

Poznámky

↑ Simon Peyton Jones (redaktor) a kol. 13. Komplexní čísla // Jazyk a knihovny Haskell 98: Revidovaná zpráva. — 2002.
↑ Dokumentace Maple V. 21. května 1998

Literatura

Bronstein I. N., Semendyaev K. A. Příručka matematiky. — M .: Nauka, 1964. — 608 s.
Vodnev V. T., Naumovich A. F., Naumovich N. F. Základní matematické vzorce. Adresář. - Minsk: Vyšší škola, 1988. - 269 s.