Analytická funkce

Analytická funkce reálné proměnné je funkce, která se shoduje s její Taylorovou řadou v blízkosti libovolného bodu v oboru definice.

Jednohodnotová funkce se nazývá analytická v bodě , pokud je omezení funkce na nějaké okolí analytickou funkcí. Jestliže je funkce analytická v bodě , pak je analytická v každém bodě v nějakém sousedství bodu . $F$ $z_{0}$ $F$ $z_{0}$ $z_{0}$ $z_{0}$

Jednohodnotová analytická funkce jedné komplexní proměnné je funkce, pro kterou je splněna jedna ze čtyř ekvivalentních podmínek v nějaké jednoduše spojené doméně , nazývané doména analytičnosti: $f(z)$ $A\subset {\mathbb C}$

Taylorova řada funkce konverguje v každém bodě a její součet je ( analyticita ve smyslu Weierstrasse ). $z\in A$ $f(z)$
V každém bodě jsou Cauchy-Riemannovy podmínky splněny a jsou splněny. Zde a jsou skutečné a imaginární části uvažované funkce. ( Analytický v Cauchy-Riemannově smyslu .) $z=x+iy\in A$ ${\frac {\částečné u}{\částečné x))={\frac {\částečné v}{\částečné y))$ ${\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.$ $u(z)$ $v(z)$
Integrál pro jakoukoli uzavřenou křivku ( analyticita v Cauchyho smyslu ). $\int \limits _{\Gamma }\,f(z)\,dz=0$ $\Gamma \podmnožina A$
Funkce je holomorfní v doméně . To znamená, že je v každém bodě komplexně diferencovatelný . $f(z)$ $A$ $f(z)$ $z\in A$

Průběh komplexní analýzy prokazuje ekvivalenci těchto definic.

Vlastnosti

Aritmetické vlastnosti

Pokud a jsou v doméně analytické $f(z)$ $g(z)$ $G\subset \mathbb {C}$

Funkce , a jsou analytické v . $f(z)\pm g(z)$ $f(z)\cdot g(z)$ $f(g(z))$ $G$
Pokud v regionu nezmizí , pak bude analytický v $g(z)$ $G$ ${\frac {f(z)}{g(z)))$ $G$
Pokud v regionu nezmizí , pak bude analytický v . $f'(z)$ $G$ $f^{{-1}}(z)$ $G$

Analytická funkce je nekonečně diferencovatelná ve své oblasti analytičnosti. Pro komplexní funkce jedné proměnné to platí i naopak.

Některé vlastnosti analytických funkcí se blíží vlastnostem polynomů , což však není překvapivé - definice analytičnosti ve smyslu Weierstrasse naznačuje, že analytické funkce jsou určitým způsobem limitujícími variantami polynomů. Předpokládejme, že podle základní věty algebry může mít jakýkoli polynom nuly ne více než jeho stupeň. Pro analytické funkce platí podobné tvrzení, které vyplývá z věty o jedinečnosti v alternativní podobě:

Pokud má množina nul analytické funkce v jednoduše spojené oblasti limitní bod v této oblasti , pak je funkce shodně rovna nule.
Pro funkci několika reálných proměnných nestačí být analytický s ohledem na každou z proměnných, aby funkce byla analytická. Pro funkci několika komplexních proměnných stačí být analytický s ohledem na každou z proměnných, aby byla funkce analytická ( Hartogsova věta ).

Příklady

Všechny polynomy v z jsou analytické funkce na celé rovině . $\mathbb {C}$

Dále analytické, i když ne na celé komplexní rovině, jsou racionální funkce , exponenciální funkce , logaritmus , goniometrické funkce , inverzní goniometrické funkce a mnoho dalších tříd funkcí, stejně jako součty, rozdíly, součiny, dílčí analytické funkce.

Příklady neanalytických funkcí zahrnují $\mathbb {C}$

$f(z)=|z|$ ,
$f(z)=\overline {z}$ ,

protože v žádném bodě nemají komplexní derivaci. V tomto případě bude omezení na reálnou osu analytickou funkcí reálné proměnné (protože se zcela shoduje s omezením funkce ). $f(z)=\overline {z}$ $f(z)=z$

Viz také

Literatura

Shabat BV Úvod do komplexní analýzy. — M .: Nauka , 1969 . — 577 s.
Titchmarsh E. Teorie funkcí: Per. z angličtiny. - 2. vyd., přepracováno. — M .: Nauka , 1980 . — 464 s.
Privalov II Úvod do teorie funkcí komplexní proměnné: Příručka pro vysokoškolské vzdělávání. - M. - L .: Státní nakladatelství, 1927 . — 316 s.
Evgrafov M. A. Analytické funkce. - 2. vyd., přepracováno. a doplňkové — M .: Nauka , 1968 . — 472 s.
Conway, John B. Funkce jedné komplexní proměnné I. — 2. - Springer-Verlag , 1978. - ( Absolventské texty z matematiky 11). - ISBN 978-0-387-90328-6 .
Krantz, Steven; Parks, Harold R.Primerreálných analytických funkcí . — 2. — Birkhauser, 2002. - ISBN 0-8176-4264-1 .

Odkazy

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Analytická funkce , Encyklopedie matematiky , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Weisstein, Eric W. Analytic Function (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .
Řešitel všech nul komplexní analytické funkce, které leží v obdélníkové oblasti od Ivana B. Ivanova

Slovníky a encyklopedie	Velká Katalánština velká čínština Velký Rus Moderní Ukrajina
V bibliografických katalozích	BNF : 119507313 J9U : 987007294737305171 LCCN : sh85004784 NDL : 00564621 NKC : ph114039