Asymptotická křivka

Asymptotická křivka (asymptotická čára) je křivka na hladké pravidelné ploše v euklidovském prostoru tečnou k asymptotickému směru plochy v každém bodě , tzn. směr, ve kterém má normální řez povrchu nulové zakřivení . Protože normální řezy s nulovou křivostí neexistují ve všech bodech povrchu, asymptotické čáry obecně nevyplňují celý povrch. Asymptotická křivka je definována diferenciální rovnicí $\gamma=\gamma(t)$ $F$ $F$

\mathrm{I\!I}_{\gamma(t)}(\tečka\gama(t),\tečka\gamma(t))=0,

kde je druhá základní forma povrchu . $\mathrm{I\!I}$ $F$

Tři typy povrchových bodů

Body u kterých Gaussian zakřivení být volán hyperbolic (příklad povrchu sestávat úplně z hyperbolických bodů je jeden-sheet hyperboloid nebo hyperbolický paraboloid); body, ve kterých se Gaussova křivost nazývá eliptické (příkladem plochy sestávající výhradně z eliptických bodů je elipsoid nebo dvouvrstvý hyperboloid); body, ve kterých se Gaussova křivost , ale střední křivost nazývají parabolické (příkladem plochy sestávající výhradně z parabolických bodů je válec). Parabolické body zpravidla tvoří křivku rozdělující povrch na eliptické a hyperbolické oblasti. $K<0$ $K>0$ $K=0$ $K \neq 0$

V oblasti eliptických bodů nejsou žádné asymptotické čáry. V oblasti hyperbolických bodů existují právě dvě rodiny asymptotických čar, které tvoří tzv. asymptotickou síť : jedna čára z každé rodiny prochází každým hyperbolickým bodem, protínají se v nenulovém úhlu. V parabolických bodech mají asymptotické čáry zpravidla singularitu typu hrotu a jsou to semikubické paraboly ležící (s výjimkou samotného vrcholu) v hyperbolické oblasti sousedící s parabolickou linií.

Vlastnosti

Tečná rovina asymptotické křivky (pokud existuje) se shoduje s tečnou rovinou ke stejnému bodu. $\gamma$ $F$
( Beltrami-Enneperova věta ) Druhá mocnina kroucení asymptotické křivky (kde je definována) je rovna modulu Gaussovy křivosti povrchu . $F$
Přímý segment na ploše je vždy asymptotická křivka. Zejména přímočaré generátory povrchu jsou asymptotické křivky. $F$
Na površích s konstantním negativním zakřivením je asymptotická síť Čebyševova síť a plocha čtyřúhelníku tvořeného asymptotickými křivkami je úměrná přebytku součtu jeho vnitřních úhlů nad (Haczidakisův vzorec). $2\pi$
Na minimální ploše je asymptotická síť ortogonální sítí .
Při projektivní prostorové transformaci přecházejí asymptotické křivky plochy na asymptotické křivky transformované plochy . $\pi$ $F$ $\pi(F)$

Rovnice pro graf funkce

Nechť povrch v euklidovském prostoru se souřadnicemi a metrikou je uveden jako graf funkce . Pak v souřadnicích jsou asymptotické čáry plochy dány diferenciální rovnicí Zavedením zápisu lze přepsat do tvaru Diskriminant čtvercového trinomu na levé straně (vzhledem k proměnné ) se shoduje s hessiánem . funkce brané s opačným znaménkem a rovnice definuje křivku na rovině sestávající z parabolických bodů povrchu (za předpokladu, že jeden z koeficientů nebo je odlišný od nuly), která je zároveň diskriminační křivkou dané diferenciální rovnice , který není vyřešen s ohledem na derivát. V typickém případě, téměř ve všech parabolických bodech, má tato rovnice Cibrario normální tvar , jedinou výjimkou jsou body ležící diskrétně na diskriminační křivce, ve kterých je normální tvar rovnice složitější. Rovnice asymptotických čar má ještě složitější normální tvar v bodech, kde všechny tři koeficienty , , současně zanikají, jedná se o tzv. ploché pupky , při kterých , tzn. všechny normální části povrchu mají nulové zakřivení. $x, y, z$ $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$ $z=f(x,y)$ $x, y$ $f_{yy} \, dy^2 + 2f_{xy} \, dx dy + f_{xx} \, dx^2 = 0.$ $p=dy/dx$ $f_{yy} p^2 + 2f_{xy} p + f_{xx} = 0.$ $\Delta = f_{xy}^2 - f_{xx}f_{yy}$ $p$ $f(x,y)$ $\Delta=0$ $(x,y)$ $f_{{xx}}$ $f_{yy}$ $f_{{xx}}$ $f_{xy}$ $f_{yy}$ $H=K=0$

Příklady

Všechny body jednovrstvého hyperboloidu jsou hyperbolického typu. Rovnice asymptotických čar má v tomto případě tvar , kde . Je snadné ověřit, že obecné řešení této rovnice je dáno vzorcem , kde parametry a podléhají vztahu . Získáme tak dvě rodiny (odpovídající různým znaménkům ve vzorci ) asymptotických čar jednovrstvého hyperboloidu, které se shodují s rodinami jeho přímočarých generátorů. $x^2+y^2-z^2=1$ $(x^2-1)p^2 - 2xyp + y^2-1 = 0$ $p=dy/dx$ $y=ax+b$ $A$ $b$ $b^2-a^2=1$ $\odpoledne$ $b = \pm \sqrt{a^2+1}$

Asymptotické čáry kužele se také shodují s jeho přímočarými generátory. Protože všechny body kužele jsou parabolické, máme právě jednu rodinu asymptotických čar. $x^2+y^2-z^2=0$

V případě povrchu daného rovnicí máme . Přímka parabolických bodů ( ) rozděluje povrch na eliptickou ( ) a hyperbolickou ( ) oblast. Ten obsahuje dvě rodiny asymptotických linií. Ve všech parabolických bodech kromě počátku ( ) má rovnice asymptotických přímek Cibrario normální tvar, proto mají asymptotické přímky v okolí těchto bodů tvar semikubických parabol. Síť asymptotických čar má v počátku složitější singularitu, jejíž povaha závisí na parametru , viz článek . $z=y^2 + x^2y + ax^4$ $\Delta = (1-6a)x^2 - y$ $y=(1-6a)x^2$ $y>(1-6a)x^2$ $y<(1-6a)x^2$ $x=y=0$ $A$

Asymptotické křivky na torusu zadané parametricky ve tvaru: $\left\{ \begin{matrix} x(\phi,\psi) = & (R + r \cos \phi) \cos \psi \\ y(\phi,\psi) = & (R + r \cos \phi) \sin \psi \\ z(\phi,\psi) = & r \sin \phi \\ \end{matrix} \right. \qquad \phi, \psi \in [0,2\pi),$

jsou dvě rovnoběžky oddělující hyperbolické a eliptické oblasti a sestávající výhradně z parabolických bodů a nekonečné množství křivek zvláštního tvaru oscilujících mezi těmito dvěma rovnoběžkami. $z=\pmr$

Asymptotická křivka je vrcholová hrana na pseudosféře .

Literatura

Rashevsky P. K. Kurz diferenciální geometrie, - Libovolné vydání.
Finikov S.P. Kurz diferenciální geometrie, - Libovolné vydání.
Finikov S.P. Theory of Surfaces, - Libovolné vydání.
Mishchenko A. S., Fomenko A. T. Kurz diferenciální geometrie a topologie, - Libovolné vydání.
Toponogov VA Diferenciální geometrie křivek a ploch. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135 .